week14 作業C Q老師的考驗

Q老師 對數列有一種非同一般的熱愛,尤其是優美的斐波那契數列。

這一天,Q老師 爲了增強大家對於斐波那契數列的理解,決定在斐波那契的基礎上創建一個新的數列 f(x) 來考一考大家。數列 f(x) 定義如下:

當 x < 10 時,f(x) = x;
當 x ≥ 10 時,f(x) = a0 * f(x-1) + a1 * f(x-2) + a2 * f(x-3) + …… + a9 * f(x-10),ai 只能爲 0 或 1。

Q老師 將給定 a0~a9,以及兩個正整數 k m,詢問 f(k) % m 的數值大小。

聰明的你能通過 Q老師 的考驗嗎?

輸入:
輸出文件包含多組測試用例,每組測試用例格式如下:

第一行給定兩個正整數 k m。(k < 2e9, m < 1e5)

第二行給定十個整數,分別表示 a0~a9。

輸出:
對於每一組測試用例輸出一行,表示 f(k) % m 的數值大小。

樣例輸入:
10 9999
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
20 500
1 0 1 0 1 0 1 0 1 0

樣例輸出:
45
104

由於數據k < 2e9, m < 1e5,所以需要用矩陣快速冪來解決。
由公式f(x) = a0 * f(x-1) + a1 * f(x-2) + a2 * f(x-3) + …… + a9 * f(x-10)可以構造出矩陣。

	    f(n)    a0   a1  a2   a3   a4   a5   a6   a7   a8   a9    f(n-1)
	    f(n-11   0    0    0    0    0    0    0    0    0    f(n-2)
	 	f(n-2)   0   1    0    0    0    0    0    0    0    0    f(n-3)
		f(n-3)   0   0    1    0    0    0    0    0    0    0    f(n-4)
		f(n-4)   0   0    0    1    0    0    0    0    0    0    f(n-5)
ans[n]= f(n-5) = 0   0    0    0    1    0    0    0    0    0  × f(n-6)
		f(n-6)   0   0    0    0    0    1    0    0    0    0    f(n-7)
		f(n-7)   0   0    0    0    0    0    1    0    0    0    f(n-8)
		f(n-8)   0   0    0    0    0    0    0    1    0    0    f(n-9)
		f(n-9)   0   0    0    0    0    0    0    0    1    1    f(n-10)

ans[n]=t^(n-9)*ans[9],t是上面10×10的矩陣。

#include<iostream>
#include<string.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int N=10;
ll k,m;
struct Matrix{
	ll x[N][N];
	Matrix operator*(const Matrix& t)const
	{
		Matrix ret;
		for(int i=0;i<N;i++)
		{
			for(int j=0;j<N;j++)
			{
				ret.x[i][j]=0;
				for(int k=0;k<N;k++)
				{
					ret.x[i][j]+=x[i][k]*t.x[k][j]%m;
					ret.x[i][j]%=m;
				}
			}
		}
		return ret;
	}
	Matrix() 
	{
		memset(x,0,sizeof(x));
	}
	Matrix(const Matrix& t)
	{
		memcpy(x,t.x,sizeof(x));
	}
};
Matrix quick_pow(Matrix a,int x)
{
	Matrix ret;
	memset(ret.x,0,sizeof(ret.x));
	for(int i=0;i<N;i++)
	{
		ret.x[i][i]=1;
	}
	while(x)
	{
		if(x&1)
		{
			ret=ret*a;
		}
		a=a*a;
		x>>=1;
	}
	return ret;
}
 
int main()
{
	while(cin>>k>>m)
	{
		Matrix ma;
		for(int i=0;i<10;i++)
		{
			cin>>ma.x[0][i];
		}
		for(int i=1;i<10;i++)
		{
			ma.x[i][i-1]=1;
		}
		Matrix tmp=quick_pow(ma,k-9);
		ll ans=0;
		for(int i=0;i<10;i++)
		{
			ans+=tmp.x[0][i]*(9-i);
			ans=ans%m;
		}
		cout<<ans<<'\n';
	}
} 
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