【學習計算機組成原理】浮點數的乘除運算

現實中的科學計數乘除

$計算1.234\times10^{2}+5.678\times10^{1}=?$

• $1.234\times5.678=7.006652$
• $2+1=3$
• $7.006652\times10^{3}=7.01\times10^{3}$

我們總結下來就是尾數相乘除，指數相加減。

機器中的過程

求階

由於階碼是用移碼錶示的，所以求階的過程就是求移碼的和或差。
移碼運算參考
使用以下公式進行階碼的加減，這裏的偏置常數是（2^n-1-1）

• $[A+B]_{移}=[A]_{移}+[B]_{移}-(2^{n-1}-1)$
• $[A-B]_{移}=[A]_{移}-[B]_{移}+(2^{n-1}-1)$

示例1：(-1)+(-2)

將階碼用移碼錶示：（加偏置常數127）
$(-1)_{10}+(127)_{10}=(126)_{移}=(0111 1110)_{2}$

$(-2)_{10}+(127)_{10}=(125)_{移}=(0111 1101)_{2}$

$(127)_{10}=(0111 1111)_{補}$

$(-127)_{10}=(1000 0001)_{補}$

求階：（階碼相加，減127）
$0111 1110+0111 1101+1000 0001=0111 1100$
結果：
$[0111 1100]_{移}=124$
$124-127=-3$（減去偏置常數）

示例2：(-1)-(-2)

因爲是減-2，所以求-2的變補碼：
$(0111 1101)_{變補}=1000 0011$

求階：（階碼相減，加127）
$0111 1110+1000 0011+0111 1111=1000 0000$
結果：
$[10000000]_{移}=128$
$128-127=1$（減去偏置常數）

尾數乘除

由於尾數是用原碼錶示的，所以需要知道原碼的乘除運算：
原碼乘參考
原碼除參考

結果規格化（同浮點數加減）

1. 當尾數高位爲0需左歸：每左移一次，階碼減一，直到MSB（最高有效位）爲1。（小數點右移，指數變小）
2. 當尾數最高位有進位，需右歸：每右移一次，階碼加一，直到MSB爲1。
3. 每次階碼變化，都需要判斷階碼是否上溢或下溢。階碼上溢時異常處理，下溢時結果爲0。

上下溢即尾數和階碼的特殊情況

階碼溢出判斷

上溢表示階碼值過大，下溢表示階碼值過小。

• 左規時（尾數左移，階碼減1）
  先判斷階碼是否全0，若是，則階碼下溢。否則，階碼減1後判斷是否全爲0，若是則階碼下溢。
• 右規時（尾數右移，階碼加1）
  先判斷階碼是否全1，若是，則階碼上溢。否則，階碼加1後判斷是否全爲1，若是則階碼上溢。

4種特殊情況的溢出
設Ex，Ey是兩位階碼，Eb是Ex與Ey運算的結果：

• Eb全爲1則上溢，Eb全爲0則下溢。
• Eb=Ex+Ey
  • 若Ex，Ey最高位都是1，且Eb的最高位是0，則階碼上溢。（正數加正數是負數）
  • 若Ex，Ey最高位都是0，且Eb的最高位是1，則階碼下溢。（負數加負數是正數）
• Eb=Ex-Ey
  • 若Ex最高位是1，Ey最高位是0，且Eb的最高位是0，則階碼上溢。（正數減負數是負數）
  • 若Ex最高位是0，Ey最高位是1，且Eb的最高位是1，則階碼下溢。（負數減正數是正數）

舍入（同浮點數加減）

浮點數加減的舍入
尾數代表的實際值是0，則將階碼置0。（因爲浮點數表示0的格式原因）