題目:有一個桶,裏面有白球、黑球各100個,人們必須按照以下的規則把球取出來:
1、每次從桶裏面拿出來兩個球;
2、如果是兩個同色的球,就再放入一個黑球;
3、如果是兩個異色的球,就再放入一個白球;
問:最後桶裏面只剩下一個黑球的概率是多少?
思路1:找規律
使用(黑球個數, 白球個數)來表示桶中黑球和白球的個數變動,正數表示增加,負數表示減少,根據規則找規律:
1、如果每次從桶裏面拿出兩個白球,則應放入一個黑球:(0, -2) + (1, 0) = (1, -2);
2、如果每次從桶裏面拿出兩個黑球,則應放入一個黑球:(-2, 0) + (1, 0) = (-1, 0);
3、如果每次從桶裏面拿出一個白球和一個黑球,則應放入一個白球:(-1, -1) + (0, 1) = (-1, 0);
從以上各種情況可以看出以下規律:
1)每次都會減少一個球,那麼最後的結果肯定是桶內只剩一個球,要麼是白球,要麼是黑球;
2)每次拿球后,白球的數目要麼不變,要麼兩個兩個地減少;
所以,從上面的分析可以得知,最後不可能只剩下一個白球,那麼必然就只能是黑球了。
思路2:使用數學方法
根據取球規則聯想到數學中異或(XOR):
1、兩個相同的數,異或等於0;
2、兩個不同的數,異或等於1;
將黑球看作0,白球看作1,那麼對於每次的操作可以做這樣的想象:每次撈起兩個數字做一次異或操作,並將所得的結果再次丟回桶中,因此最後的結果實際上相當於把所有的球都進行一次異或運算,最後所得的結果即爲最後剩餘的球。
異或運算規律:
1)偶數個1異或,結果爲0;
2)偶數個0異或,結果爲0;
3)奇數個1異或,結果爲1;
4)奇數個0異或,結果爲0:
對於複雜問題的分析,最有效的方法就是通過簡單的例子進行歸納,然後根據實際歸納出的結論進行結果分析,而適當的數學抽象在解決問題的過程中往往有畫龍點睛的作用。