作者：Faaany
鏈接：https://www.zhihu.com/question/21868680/answer/136376374
來源：知乎
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要更好的理解範數，就要從函數、幾何與矩陣的角度去理解，我儘量講的通俗一些。
我們都知道，函數與幾何圖形往往是有對應的關係，這個很好想象，特別是在三維以下的空間內，函數是幾何圖像的數學概括，而幾何圖像是函數的高度形象化，比如一個函數對應幾何空間上若干點組成的圖形。
但當函數與幾何超出三維空間時，就難以獲得較好的想象，於是就有了映射的概念，映射表達的就是一個集合通過某種關係轉爲另外一個集合。通常數學書是先說映射，然後再討論函數，這是因爲函數是映射的一個特例。
爲了更好的在數學上表達這種映射關係，（這裏特指線性關係）於是就引進了矩陣。這裏的矩陣就是表徵上述空間映射的線性關係。而通過向量來表示上述映射中所說的這個集合，而我們通常所說的基，就是這個集合的最一般關係。於是，我們可以這樣理解，一個集合（向量），通過一種映射關係（矩陣），得到另外一個幾何（另外一個向量）。
那麼向量的範數，就是表示這個原有集合的大小。
而矩陣的範數，就是表示這個變化過程的大小的一個度量。
那麼說到具體几几範數，其不過是定義不同，一個矩陣範數往往由一個向量範數引出，我們稱之爲算子範數，其物理意義都如我上述所述。
以上符合知乎回答問題的方式。
接下來用百度回答方式：
0範數，向量中非零元素的個數。
1範數，爲絕對值之和。
2範數，就是通常意義上的模。
無窮範數，就是取向量的最大值。
具體怎麼用，看不同的領域，看你來自計算機領域 用的比較多的就是迭代過程中收斂性質的判斷，如果理解上述的意義，在計算機領域，一般迭代前後步驟的差值的範數表示其大小，常用的是二範數，差值越小表示越逼近實際值，可以認爲達到要求的精度，收斂。
總的來說，範數的本質是距離，存在的意義是爲了實現比較。比如，在一維實數集合中，我們隨便取兩個點4和9，我們知道9比4大，但是到了二維實數空間中，取兩個點（1，1）和（0，3），這個時候我們就沒辦法比較它們之間的大小，因爲它們不是可以比較的實數，於是我們引入範數這個概念，把我們的（1，1）和（0，3）通過範數分別映射到實數
在上面的例子裏，我們用的範數是平方求和然後再開方，範數還有很多其他的類型，這個就要看具體的定義了，理論上我們也可以把範數定義爲只比較x軸上數字的絕對值。
PS：我這裏說的是向量範數。;)
什麼一範數二範數也是用來度量一個整體，比如兩個個班的人比較高度，你可以用班裏面最高的人（無窮範數）去比較，也可以用班裏所有人的身高總和比較（一範數），也可以求平均（幾何平均？忘記了。。）（類似二範數）。
舉一個簡單的例子，一個二維度的歐氏幾何空間 R ^2就有歐氏範數。在這個向量空間的元素（譬如：(3,7)）常常在笛卡兒座標系統被畫成一個從原點出發的箭號。每一個向量的歐氏範數就是箭號的長度。