揹包的遞歸算法
遞歸是設計和描述算法的一種有力的工具,由於它在複雜算法的描述中被經常採用,爲此在進一步介紹其他算法設計方法之前先討論它。
能採用遞歸描述的算法通常有這樣的特徵:爲求解規模爲N的問題,設法將它分解成規模較小的問題,然後從這些小問題的解方便地構造出大問題的解,並且這些規模較小的問題也能採用同樣的分解和綜合方法,分解成規模更小的問題,並從這些更小問題的解構造出規模較大問題的解。特別地,當規模N=1時,能直接得解。
【問題】 編寫計算斐波那契(Fibonacci)數列的第n項函數fib(n)。
斐波那契數列爲:0、1、1、2、3、……,即:
fib(0)=0;
fib(1)=1;
fib(n)=fib(n-1)+fib(n-2) (當n>1時)。
寫成遞歸函數有:
int fib(int n)
{ if (n==0) return 0;
if (n==1) return 1;
if (n>1) return fib(n-1)+fib(n-2);
}
遞歸算法的執行過程分遞推和迴歸兩個階段。在遞推階段,把較複雜的問題(規模爲n)的求解推到比原問題簡單一些的問題(規模小於n)的求解。例如上例中,求解fib(n),把它推到求解fib(n-1)和fib(n-2)。也就是說,爲計算fib(n),必須先計算fib(n-1)和fib(n-2),而計算fib(n-1)和fib(n-2),又必須先計算fib(n-3)和fib(n-4)。依次類推,直至計算fib(1)和fib(0),分別能立即得到結果1和0。在遞推階段,必須要有終止遞歸的情況。例如在函數fib中,當n爲1和0的情況。
在迴歸階段,當獲得最簡單情況的解後,逐級返回,依次得到稍複雜問題的解,例如得到fib(1)和fib(0)後,返回得到fib(2)的結果,……,在得到了fib(n-1)和fib(n-2)的結果後,返回得到fib(n)的結果。
在編寫遞歸函數時要注意,函數中的局部變量和參數知識侷限於當前調用層,當遞推進入“簡單問題”層時,原來層次上的參數和局部變量便被隱蔽起來。在一系列“簡單問題”層,它們各有自己的參數和局部變量。
由於遞歸引起一系列的函數調用,並且可能會有一系列的重複計算,遞歸算法的執行效率相對較低。當某個遞歸算法能較方便地轉換成遞推算法時,通常按遞推算法編寫程序。例如上例計算斐波那契數列的第n項的函數fib(n)應採用遞推算法,即從斐波那契數列的前兩項出發,逐次由前兩項計算出下一項,直至計算出要求的第n項。
【問題】 組合問題
問題描述:找出從自然數1、2、……、n中任取r個數的所有組合。例如n=5,r=3的所有組合爲: (1)5、4、3 (2)5、4、2 (3)5、4、1
(4)5、3、2 (5)5、3、1 (6)5、2、1
(7)4、3、2 (8)4、3、1 (9)4、2、1
(10)3、2、1
分析所列的10個組合,可以採用這樣的遞歸思想來考慮求組合函數的算法。設函數爲void comb(int m,int k)爲找出從自然數1、2、……、m中任取k個數的所有組合。當組合的第一個數字選定時,其後的數字是從餘下的m-1個數中取k-1數的組合。這就將求m個數中取k個數的組合問題轉化成求m-1個數中取k-1個數的組合問題。設函數引入工作數組a[ ]存放求出的組合的數字,約定函數將確定的k個數字組合的第一個數字放在a[k]中,當一個組合求出後,纔將a[ ]中的一個組合輸出。第一個數可以是m、m-1、……、k,函數將確定組合的第一個數字放入數組後,有兩種可能的選擇,因還未去頂組合的其餘元素,繼續遞歸去確定;或因已確定了組合的全部元素,輸出這個組合。細節見以下程序中的函數comb。
【程序】
# include <stdio.h>
# define MAXN 100
int a[MAXN];
void comb(int m,int k)
{ int i,j;
for (i=m;i>=k;i--)
{ a[k]=i;
if (k>1)
comb(i-1,k-1);
else
{ for (j=a[0];j>0;j--)
printf(“%4d”,a[j]);
printf(“/n”);
}
}
}
void main()
{ a[0]=3;
comb(5,3);
}
【問題】 揹包問題
問題描述:有不同價值、不同重量的物品n件,求從這n件物品中選取一部分物品的選擇方案,使選中物品的總重量不超過指定的限制重量,但選中物品的價值之和最大。
設n件物品的重量分別爲w0、w1、…、wn-1,物品的價值分別爲v0、v1、…、vn-1。採用遞歸尋找物品的選擇方案。設前面已有了多種選擇的方案,並保留了其中總價值最大的方案於數組option[ ],該方案的總價值存於變量maxv。當前正在考察新方案,其物品選擇情況保存於數組cop[ ]。假定當前方案已考慮了前i-1件物品,現在要考慮第i件物品;當前方案已包含的物品的重量之和爲tw;至此,若其餘物品都選擇是可能的話,本方案能達到的總價值的期望值爲tv。算法引入tv是當一旦當前方案的總價值的期望值也小於前面方案的總價值maxv時,繼續考察當前方案變成無意義的工作,應終止當前方案,立即去考察下一個方案。因爲當方案的總價值不比maxv大時,該方案不會被再考察,這同時保證函數後找到的方案一定會比前面的方案更好。
對於第i件物品的選擇考慮有兩種可能:
(1) 考慮物品i被選擇,這種可能性僅當包含它不會超過方案總重量限制時纔是可行的。選中後,繼續遞歸去考慮其餘物品的選擇。
(2) 考慮物品i不被選擇,這種可能性僅當不包含物品i也有可能會找到價值更大的方案的情況。
按以上思想寫出遞歸算法如下:
try(物品i,當前選擇已達到的重量和,本方案可能達到的總價值tv)
{ /*考慮物品i包含在當前方案中的可能性*/
if(包含物品i是可以接受的)
{ 將物品i包含在當前方案中;
if (i<n-1)
try(i+1,tw+物品i的重量,tv);
else
/*又一個完整方案,因爲它比前面的方案好,以它作爲最佳方案*/
以當前方案作爲臨時最佳方案保存;
恢復物品i不包含狀態;
}
/*考慮物品i不包含在當前方案中的可能性*/
if (不包含物品i僅是可男考慮的)
if (i<n-1)
try(i+1,tw,tv-物品i的價值);
else
/*又一個完整方案,因它比前面的方案好,以它作爲最佳方案*/
以當前方案作爲臨時最佳方案保存;
}
爲了理解上述算法,特舉以下實例。設有4件物品,它們的重量和價值見表:
物品 0 1 2 3
重量 5 3 2 1
價值 4 4 3 1
並設限制重量爲7。則按以上算法,下圖表示找解過程。由圖知,一旦找到一個解,算法就進一步找更好的佳。如能判定某個查找分支不會找到更好的解,算法不會在該分支繼續查找,而是立即終止該分支,並去考察下一個分支。
按上述算法編寫函數和程序如下:
【程序】
# include <stdio.h>
# define N 100
double limitW,totV,maxV;
int option[N],cop[N];
struct { double weight;
double value;
}a[N];
int n;
void find(int i,double tw,double tv)
{ int k;
/*考慮物品i包含在當前方案中的可能性*/
if (tw+a.weight<=limitW)
{ cop=1;
if (i<n-1) find(i+1,tw+a.weight,tv);
else
{ for (k=0;k<n;k++)
option[k]=cop[k];
maxv=tv;
}
cop=0;
}
/*考慮物品i不包含在當前方案中的可能性*/
if (tv-a.value>maxV)
if (i<n-1) find(i+1,tw,tv-a.value);
else
{ for (k=0;k<n;k++)
option[k]=cop[k];
maxv=tv-a.value;
}
}
void main()
{ int k;
double w,v;
printf(“輸入物品種數/n”);
scanf((“%d”,&n);
printf(“輸入各物品的重量和價值/n”);
for (totv=0.0,k=0;k<n;k++)
{ scanf(“%1f%1f”,&w,&v);
a[k].weight=w;
a[k].value=v;
totV+=V;
}
printf(“輸入限制重量/n”);
scanf(“%1f”,&limitV);
maxv=0.0;
for (k=0;k<n;k++) cop[k]=0;
find(0,0.0,totV);
for (k=0;k<n;k++)
if (option[k]) printf(“%4d”,k+1);
printf(“/n總價值爲%.2f/n”,maxv);
}
作爲對比,下面以同樣的解題思想,考慮非遞歸的程序解。爲了提高找解速度,程序不是簡單地逐一生成所有候選解,而是從每個物品對候選解的影響來形成值得進一步考慮的候選解,一個候選解是通過依次考察每個物品形成的。對物品i的考察有這樣幾種情況:當該物品被包含在候選解中依舊滿足解的總重量的限制,該物品被包含在候選解中是應該繼續考慮的;反之,該物品不應該包括在當前正在形成的候選解中。同樣地,僅當物品不被包括在候選解中,還是有可能找到比目前臨時最佳解更好的候選解時,纔去考慮該物品不被包括在候選解中;反之,該物品不包括在當前候選解中的方案也不應繼續考慮。對於任一值得繼續考慮的方案,程序就去進一步考慮下一個物品。
【程序】
# include <stdio.h>
# define N 100
double limitW;
int cop[N];
struct ele { double weight;
double value;
} a[N];
int k,n;
struct { int flg;
double tw;
double tv;
}twv[N];
void next(int i,double tw,double tv)
{ twv.flg=1;
twv.tw=tw;
twv.tv=tv;
}
double find(struct ele *a,int n)
{ int i,k,f;
double maxv,tw,tv,totv;
maxv=0;
for (totv=0.0,k=0;k<n;k++)
totv+=a[k].value;
next(0,0.0,totv);
i=0;
While (i>=0)
{ f=twv.flg;
tw=twv.tw;
tv=twv.tv;
switch(f)
{ case 1: twv.flg++;
if (tw+a.weight<=limitW)
if (i<n-1)
{ next(i+1,tw+a.weight,tv);
i++;
}
else
{ maxv=tv;
for (k=0;k<n;k++)
cop[k]=twv[k].flg!=0;
}
break;
case 0: i--;
break;
default: twv.flg=0;
if (tv-a.value>maxv)
if (i<n-1)
{ next(i+1,tw,tv-a.value);
i++;
}
else
{ maxv=tv-a.value;
for (k=0;k<n;k++)
cop[k]=twv[k].flg!=0;
}
break;
}
}
return maxv;
}
void main()
{ double maxv;
printf(“輸入物品種數/n”);
scanf((“%d”,&n);
printf(“輸入限制重量/n”);
scanf(“%1f”,&limitW);
printf(“輸入各物品的重量和價值/n”);
for (k=0;k<n;k++)
scanf(“%1f%1f”,&a[k].weight,&a[k].value);
maxv=find(a,n);
printf(“/n選中的物品爲/n”);
for (k=0;k<n;k++)
if (option[k]) printf(“%4d”,k+1);
printf(“/n總價值爲%.2f/n”,maxv);
}
能採用遞歸描述的算法通常有這樣的特徵:爲求解規模爲N的問題,設法將它分解成規模較小的問題,然後從這些小問題的解方便地構造出大問題的解,並且這些規模較小的問題也能採用同樣的分解和綜合方法,分解成規模更小的問題,並從這些更小問題的解構造出規模較大問題的解。特別地,當規模N=1時,能直接得解。
【問題】 編寫計算斐波那契(Fibonacci)數列的第n項函數fib(n)。
斐波那契數列爲:0、1、1、2、3、……,即:
fib(0)=0;
fib(1)=1;
fib(n)=fib(n-1)+fib(n-2) (當n>1時)。
寫成遞歸函數有:
int fib(int n)
{ if (n==0) return 0;
if (n==1) return 1;
if (n>1) return fib(n-1)+fib(n-2);
}
遞歸算法的執行過程分遞推和迴歸兩個階段。在遞推階段,把較複雜的問題(規模爲n)的求解推到比原問題簡單一些的問題(規模小於n)的求解。例如上例中,求解fib(n),把它推到求解fib(n-1)和fib(n-2)。也就是說,爲計算fib(n),必須先計算fib(n-1)和fib(n-2),而計算fib(n-1)和fib(n-2),又必須先計算fib(n-3)和fib(n-4)。依次類推,直至計算fib(1)和fib(0),分別能立即得到結果1和0。在遞推階段,必須要有終止遞歸的情況。例如在函數fib中,當n爲1和0的情況。
在迴歸階段,當獲得最簡單情況的解後,逐級返回,依次得到稍複雜問題的解,例如得到fib(1)和fib(0)後,返回得到fib(2)的結果,……,在得到了fib(n-1)和fib(n-2)的結果後,返回得到fib(n)的結果。
在編寫遞歸函數時要注意,函數中的局部變量和參數知識侷限於當前調用層,當遞推進入“簡單問題”層時,原來層次上的參數和局部變量便被隱蔽起來。在一系列“簡單問題”層,它們各有自己的參數和局部變量。
由於遞歸引起一系列的函數調用,並且可能會有一系列的重複計算,遞歸算法的執行效率相對較低。當某個遞歸算法能較方便地轉換成遞推算法時,通常按遞推算法編寫程序。例如上例計算斐波那契數列的第n項的函數fib(n)應採用遞推算法,即從斐波那契數列的前兩項出發,逐次由前兩項計算出下一項,直至計算出要求的第n項。
【問題】 組合問題
問題描述:找出從自然數1、2、……、n中任取r個數的所有組合。例如n=5,r=3的所有組合爲: (1)5、4、3 (2)5、4、2 (3)5、4、1
(4)5、3、2 (5)5、3、1 (6)5、2、1
(7)4、3、2 (8)4、3、1 (9)4、2、1
(10)3、2、1
分析所列的10個組合,可以採用這樣的遞歸思想來考慮求組合函數的算法。設函數爲void comb(int m,int k)爲找出從自然數1、2、……、m中任取k個數的所有組合。當組合的第一個數字選定時,其後的數字是從餘下的m-1個數中取k-1數的組合。這就將求m個數中取k個數的組合問題轉化成求m-1個數中取k-1個數的組合問題。設函數引入工作數組a[ ]存放求出的組合的數字,約定函數將確定的k個數字組合的第一個數字放在a[k]中,當一個組合求出後,纔將a[ ]中的一個組合輸出。第一個數可以是m、m-1、……、k,函數將確定組合的第一個數字放入數組後,有兩種可能的選擇,因還未去頂組合的其餘元素,繼續遞歸去確定;或因已確定了組合的全部元素,輸出這個組合。細節見以下程序中的函數comb。
【程序】
# include <stdio.h>
# define MAXN 100
int a[MAXN];
void comb(int m,int k)
{ int i,j;
for (i=m;i>=k;i--)
{ a[k]=i;
if (k>1)
comb(i-1,k-1);
else
{ for (j=a[0];j>0;j--)
printf(“%4d”,a[j]);
printf(“/n”);
}
}
}
void main()
{ a[0]=3;
comb(5,3);
}
【問題】 揹包問題
問題描述:有不同價值、不同重量的物品n件,求從這n件物品中選取一部分物品的選擇方案,使選中物品的總重量不超過指定的限制重量,但選中物品的價值之和最大。
設n件物品的重量分別爲w0、w1、…、wn-1,物品的價值分別爲v0、v1、…、vn-1。採用遞歸尋找物品的選擇方案。設前面已有了多種選擇的方案,並保留了其中總價值最大的方案於數組option[ ],該方案的總價值存於變量maxv。當前正在考察新方案,其物品選擇情況保存於數組cop[ ]。假定當前方案已考慮了前i-1件物品,現在要考慮第i件物品;當前方案已包含的物品的重量之和爲tw;至此,若其餘物品都選擇是可能的話,本方案能達到的總價值的期望值爲tv。算法引入tv是當一旦當前方案的總價值的期望值也小於前面方案的總價值maxv時,繼續考察當前方案變成無意義的工作,應終止當前方案,立即去考察下一個方案。因爲當方案的總價值不比maxv大時,該方案不會被再考察,這同時保證函數後找到的方案一定會比前面的方案更好。
對於第i件物品的選擇考慮有兩種可能:
(1) 考慮物品i被選擇,這種可能性僅當包含它不會超過方案總重量限制時纔是可行的。選中後,繼續遞歸去考慮其餘物品的選擇。
(2) 考慮物品i不被選擇,這種可能性僅當不包含物品i也有可能會找到價值更大的方案的情況。
按以上思想寫出遞歸算法如下:
try(物品i,當前選擇已達到的重量和,本方案可能達到的總價值tv)
{ /*考慮物品i包含在當前方案中的可能性*/
if(包含物品i是可以接受的)
{ 將物品i包含在當前方案中;
if (i<n-1)
try(i+1,tw+物品i的重量,tv);
else
/*又一個完整方案,因爲它比前面的方案好,以它作爲最佳方案*/
以當前方案作爲臨時最佳方案保存;
恢復物品i不包含狀態;
}
/*考慮物品i不包含在當前方案中的可能性*/
if (不包含物品i僅是可男考慮的)
if (i<n-1)
try(i+1,tw,tv-物品i的價值);
else
/*又一個完整方案,因它比前面的方案好,以它作爲最佳方案*/
以當前方案作爲臨時最佳方案保存;
}
爲了理解上述算法,特舉以下實例。設有4件物品,它們的重量和價值見表:
物品 0 1 2 3
重量 5 3 2 1
價值 4 4 3 1
並設限制重量爲7。則按以上算法,下圖表示找解過程。由圖知,一旦找到一個解,算法就進一步找更好的佳。如能判定某個查找分支不會找到更好的解,算法不會在該分支繼續查找,而是立即終止該分支,並去考察下一個分支。
按上述算法編寫函數和程序如下:
【程序】
# include <stdio.h>
# define N 100
double limitW,totV,maxV;
int option[N],cop[N];
struct { double weight;
double value;
}a[N];
int n;
void find(int i,double tw,double tv)
{ int k;
/*考慮物品i包含在當前方案中的可能性*/
if (tw+a.weight<=limitW)
{ cop=1;
if (i<n-1) find(i+1,tw+a.weight,tv);
else
{ for (k=0;k<n;k++)
option[k]=cop[k];
maxv=tv;
}
cop=0;
}
/*考慮物品i不包含在當前方案中的可能性*/
if (tv-a.value>maxV)
if (i<n-1) find(i+1,tw,tv-a.value);
else
{ for (k=0;k<n;k++)
option[k]=cop[k];
maxv=tv-a.value;
}
}
void main()
{ int k;
double w,v;
printf(“輸入物品種數/n”);
scanf((“%d”,&n);
printf(“輸入各物品的重量和價值/n”);
for (totv=0.0,k=0;k<n;k++)
{ scanf(“%1f%1f”,&w,&v);
a[k].weight=w;
a[k].value=v;
totV+=V;
}
printf(“輸入限制重量/n”);
scanf(“%1f”,&limitV);
maxv=0.0;
for (k=0;k<n;k++) cop[k]=0;
find(0,0.0,totV);
for (k=0;k<n;k++)
if (option[k]) printf(“%4d”,k+1);
printf(“/n總價值爲%.2f/n”,maxv);
}
作爲對比,下面以同樣的解題思想,考慮非遞歸的程序解。爲了提高找解速度,程序不是簡單地逐一生成所有候選解,而是從每個物品對候選解的影響來形成值得進一步考慮的候選解,一個候選解是通過依次考察每個物品形成的。對物品i的考察有這樣幾種情況:當該物品被包含在候選解中依舊滿足解的總重量的限制,該物品被包含在候選解中是應該繼續考慮的;反之,該物品不應該包括在當前正在形成的候選解中。同樣地,僅當物品不被包括在候選解中,還是有可能找到比目前臨時最佳解更好的候選解時,纔去考慮該物品不被包括在候選解中;反之,該物品不包括在當前候選解中的方案也不應繼續考慮。對於任一值得繼續考慮的方案,程序就去進一步考慮下一個物品。
【程序】
# include <stdio.h>
# define N 100
double limitW;
int cop[N];
struct ele { double weight;
double value;
} a[N];
int k,n;
struct { int flg;
double tw;
double tv;
}twv[N];
void next(int i,double tw,double tv)
{ twv.flg=1;
twv.tw=tw;
twv.tv=tv;
}
double find(struct ele *a,int n)
{ int i,k,f;
double maxv,tw,tv,totv;
maxv=0;
for (totv=0.0,k=0;k<n;k++)
totv+=a[k].value;
next(0,0.0,totv);
i=0;
While (i>=0)
{ f=twv.flg;
tw=twv.tw;
tv=twv.tv;
switch(f)
{ case 1: twv.flg++;
if (tw+a.weight<=limitW)
if (i<n-1)
{ next(i+1,tw+a.weight,tv);
i++;
}
else
{ maxv=tv;
for (k=0;k<n;k++)
cop[k]=twv[k].flg!=0;
}
break;
case 0: i--;
break;
default: twv.flg=0;
if (tv-a.value>maxv)
if (i<n-1)
{ next(i+1,tw,tv-a.value);
i++;
}
else
{ maxv=tv-a.value;
for (k=0;k<n;k++)
cop[k]=twv[k].flg!=0;
}
break;
}
}
return maxv;
}
void main()
{ double maxv;
printf(“輸入物品種數/n”);
scanf((“%d”,&n);
printf(“輸入限制重量/n”);
scanf(“%1f”,&limitW);
printf(“輸入各物品的重量和價值/n”);
for (k=0;k<n;k++)
scanf(“%1f%1f”,&a[k].weight,&a[k].value);
maxv=find(a,n);
printf(“/n選中的物品爲/n”);
for (k=0;k<n;k++)
if (option[k]) printf(“%4d”,k+1);
printf(“/n總價值爲%.2f/n”,maxv);
}
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