揹包的遞歸算法

遞歸是設計和描述算法的一種有力的工具,由於它在複雜算法的描述中被經常採用,爲此在進一步介紹其他算法設計方法之前先討論它。 
  能採用遞歸描述的算法通常有這樣的特徵:爲求解規模爲N的問題,設法將它分解成規模較小的問題,然後從這些小問題的解方便地構造出大問題的解,並且這些規模較小的問題也能採用同樣的分解和綜合方法,分解成規模更小的問題,並從這些更小問題的解構造出規模較大問題的解。特別地,當規模N=1時,能直接得解。 
【問題】   編寫計算斐波那契(Fibonacci)數列的第n項函數fib(n)。 
  斐波那契數列爲:0、1、1、2、3、……,即: 
    fib(0)=0; 
    fib(1)=1; 
    fib(n)=fib(n-1)+fib(n-2)     (當n>1時)。 
寫成遞歸函數有: 
int fib(int n) 
{   if (n==0)     return 0; 
  if (n==1)     return 1; 
  if (n>1)     return fib(n-1)+fib(n-2); 

  遞歸算法的執行過程分遞推和迴歸兩個階段。在遞推階段,把較複雜的問題(規模爲n)的求解推到比原問題簡單一些的問題(規模小於n)的求解。例如上例中,求解fib(n),把它推到求解fib(n-1)和fib(n-2)。也就是說,爲計算fib(n),必須先計算fib(n-1)和fib(n-2),而計算fib(n-1)和fib(n-2),又必須先計算fib(n-3)和fib(n-4)。依次類推,直至計算fib(1)和fib(0),分別能立即得到結果1和0。在遞推階段,必須要有終止遞歸的情況。例如在函數fib中,當n爲1和0的情況。 
  在迴歸階段,當獲得最簡單情況的解後,逐級返回,依次得到稍複雜問題的解,例如得到fib(1)和fib(0)後,返回得到fib(2)的結果,……,在得到了fib(n-1)和fib(n-2)的結果後,返回得到fib(n)的結果。 
  在編寫遞歸函數時要注意,函數中的局部變量和參數知識侷限於當前調用層,當遞推進入“簡單問題”層時,原來層次上的參數和局部變量便被隱蔽起來。在一系列“簡單問題”層,它們各有自己的參數和局部變量。 
  由於遞歸引起一系列的函數調用,並且可能會有一系列的重複計算,遞歸算法的執行效率相對較低。當某個遞歸算法能較方便地轉換成遞推算法時,通常按遞推算法編寫程序。例如上例計算斐波那契數列的第n項的函數fib(n)應採用遞推算法,即從斐波那契數列的前兩項出發,逐次由前兩項計算出下一項,直至計算出要求的第n項。 
【問題】   組合問題 
問題描述:找出從自然數1、2、……、n中任取r個數的所有組合。例如n=5,r=3的所有組合爲:   (1)5、4、3     (2)5、4、2     (3)5、4、1 
      (4)5、3、2     (5)5、3、1     (6)5、2、1 
      (7)4、3、2     (8)4、3、1     (9)4、2、1 
      (10)3、2、1 
  分析所列的10個組合,可以採用這樣的遞歸思想來考慮求組合函數的算法。設函數爲void comb(int m,int k)爲找出從自然數1、2、……、m中任取k個數的所有組合。當組合的第一個數字選定時,其後的數字是從餘下的m-1個數中取k-1數的組合。這就將求m個數中取k個數的組合問題轉化成求m-1個數中取k-1個數的組合問題。設函數引入工作數組a[ ]存放求出的組合的數字,約定函數將確定的k個數字組合的第一個數字放在a[k]中,當一個組合求出後,纔將a[ ]中的一個組合輸出。第一個數可以是m、m-1、……、k,函數將確定組合的第一個數字放入數組後,有兩種可能的選擇,因還未去頂組合的其餘元素,繼續遞歸去確定;或因已確定了組合的全部元素,輸出這個組合。細節見以下程序中的函數comb。 
【程序】 
# include   <stdio.h> 
# define   MAXN   100 
int   a[MAXN]; 
void   comb(int m,int k) 
{   int i,j; 
  for (i=m;i>=k;i--) 
  {   a[k]=i; 
    if (k>1) 
      comb(i-1,k-1); 
    else 
    {   for (j=a[0];j>0;j--) 
        printf(“%4d”,a[j]); 
      printf(“/n”); 
    } 
  } 


void main() 
{   a[0]=3; 
  comb(5,3); 

【問題】   揹包問題 
問題描述:有不同價值、不同重量的物品n件,求從這n件物品中選取一部分物品的選擇方案,使選中物品的總重量不超過指定的限制重量,但選中物品的價值之和最大。 
設n件物品的重量分別爲w0、w1、…、wn-1,物品的價值分別爲v0、v1、…、vn-1。採用遞歸尋找物品的選擇方案。設前面已有了多種選擇的方案,並保留了其中總價值最大的方案於數組option[ ],該方案的總價值存於變量maxv。當前正在考察新方案,其物品選擇情況保存於數組cop[ ]。假定當前方案已考慮了前i-1件物品,現在要考慮第i件物品;當前方案已包含的物品的重量之和爲tw;至此,若其餘物品都選擇是可能的話,本方案能達到的總價值的期望值爲tv。算法引入tv是當一旦當前方案的總價值的期望值也小於前面方案的總價值maxv時,繼續考察當前方案變成無意義的工作,應終止當前方案,立即去考察下一個方案。因爲當方案的總價值不比maxv大時,該方案不會被再考察,這同時保證函數後找到的方案一定會比前面的方案更好。 
對於第i件物品的選擇考慮有兩種可能: 
(1)   考慮物品i被選擇,這種可能性僅當包含它不會超過方案總重量限制時纔是可行的。選中後,繼續遞歸去考慮其餘物品的選擇。 
(2)   考慮物品i不被選擇,這種可能性僅當不包含物品i也有可能會找到價值更大的方案的情況。 
按以上思想寫出遞歸算法如下: 
try(物品i,當前選擇已達到的重量和,本方案可能達到的總價值tv) 
{   /*考慮物品i包含在當前方案中的可能性*/ 
  if(包含物品i是可以接受的) 
  {   將物品i包含在當前方案中; 
    if (i<n-1) 
      try(i+1,tw+物品i的重量,tv); 
    else 
      /*又一個完整方案,因爲它比前面的方案好,以它作爲最佳方案*/ 
以當前方案作爲臨時最佳方案保存; 
      恢復物品i不包含狀態; 
    } 
    /*考慮物品i不包含在當前方案中的可能性*/ 
    if (不包含物品i僅是可男考慮的) 
      if (i<n-1) 
        try(i+1,tw,tv-物品i的價值); 
      else 
        /*又一個完整方案,因它比前面的方案好,以它作爲最佳方案*/ 
以當前方案作爲臨時最佳方案保存; 
  } 
  爲了理解上述算法,特舉以下實例。設有4件物品,它們的重量和價值見表: 
物品   0   1   2   3 
重量   5   3   2   1 
價值   4   4   3   1 

並設限制重量爲7。則按以上算法,下圖表示找解過程。由圖知,一旦找到一個解,算法就進一步找更好的佳。如能判定某個查找分支不會找到更好的解,算法不會在該分支繼續查找,而是立即終止該分支,並去考察下一個分支。 

按上述算法編寫函數和程序如下: 
【程序】 
# include   <stdio.h> 
# define   N   100 
double   limitW,totV,maxV; 
int   option[N],cop[N]; 
struct   {   double   weight; 
      double   value; 
    }a[N]; 
int   n; 
void find(int i,double tw,double tv) 
{   int k; 
  /*考慮物品i包含在當前方案中的可能性*/ 
  if (tw+a.weight<=limitW) 
  {   cop=1; 
    if (i<n-1)   find(i+1,tw+a.weight,tv); 
    else 
    {   for (k=0;k<n;k++) 
        option[k]=cop[k]; 
      maxv=tv; 
    } 
    cop=0; 

  /*考慮物品i不包含在當前方案中的可能性*/ 
  if (tv-a.value>maxV) 
    if (i<n-1)   find(i+1,tw,tv-a.value); 
    else 
    {   for (k=0;k<n;k++) 
        option[k]=cop[k]; 
      maxv=tv-a.value; 
    } 


void main() 
{   int k; 
  double w,v; 
  printf(“輸入物品種數/n”); 
  scanf((“%d”,&n); 
  printf(“輸入各物品的重量和價值/n”); 
  for (totv=0.0,k=0;k<n;k++) 
  {   scanf(“%1f%1f”,&w,&v); 
    a[k].weight=w; 
    a[k].value=v; 
    totV+=V; 
  } 
  printf(“輸入限制重量/n”); 
  scanf(“%1f”,&limitV); 
  maxv=0.0; 
  for (k=0;k<n;k++)   cop[k]=0; 
  find(0,0.0,totV); 
  for (k=0;k<n;k++) 
    if (option[k])   printf(“%4d”,k+1); 
  printf(“/n總價值爲%.2f/n”,maxv); 

  作爲對比,下面以同樣的解題思想,考慮非遞歸的程序解。爲了提高找解速度,程序不是簡單地逐一生成所有候選解,而是從每個物品對候選解的影響來形成值得進一步考慮的候選解,一個候選解是通過依次考察每個物品形成的。對物品i的考察有這樣幾種情況:當該物品被包含在候選解中依舊滿足解的總重量的限制,該物品被包含在候選解中是應該繼續考慮的;反之,該物品不應該包括在當前正在形成的候選解中。同樣地,僅當物品不被包括在候選解中,還是有可能找到比目前臨時最佳解更好的候選解時,纔去考慮該物品不被包括在候選解中;反之,該物品不包括在當前候選解中的方案也不應繼續考慮。對於任一值得繼續考慮的方案,程序就去進一步考慮下一個物品。 
【程序】 
# include   <stdio.h> 
# define   N   100 
double   limitW; 
int   cop[N]; 
struct   ele   {   double   weight; 
        double   value; 
      } a[N]; 
int   k,n; 
struct   {   int     flg; 
      double   tw; 
      double   tv; 
    }twv[N]; 
void next(int i,double tw,double tv) 
{   twv.flg=1; 
  twv.tw=tw; 
  twv.tv=tv; 

double find(struct ele *a,int n) 
{   int i,k,f; 
  double maxv,tw,tv,totv; 
  maxv=0; 
  for (totv=0.0,k=0;k<n;k++) 
    totv+=a[k].value; 
  next(0,0.0,totv); 
  i=0; 
  While (i>=0) 
  {   f=twv.flg; 
    tw=twv.tw; 
    tv=twv.tv; 
    switch(f) 
    {   case 1:   twv.flg++; 
          if (tw+a.weight<=limitW) 
            if (i<n-1) 
            {   next(i+1,tw+a.weight,tv); 
              i++; 
            } 
            else 
            {   maxv=tv; 
              for (k=0;k<n;k++) 
                cop[k]=twv[k].flg!=0; 
            } 
          break; 
      case 0:   i--; 
          break; 
      default:   twv.flg=0; 
          if (tv-a.value>maxv) 
            if (i<n-1) 
            {   next(i+1,tw,tv-a.value); 
              i++; 
            } 
            else 
            {   maxv=tv-a.value; 
              for (k=0;k<n;k++) 
                cop[k]=twv[k].flg!=0; 
            } 
          break; 
    } 
  } 
  return maxv; 


void main() 
{   double maxv; 
  printf(“輸入物品種數/n”); 
  scanf((“%d”,&n); 
  printf(“輸入限制重量/n”); 
  scanf(“%1f”,&limitW); 
printf(“輸入各物品的重量和價值/n”); 
  for (k=0;k<n;k++) 
    scanf(“%1f%1f”,&a[k].weight,&a[k].value); 
  maxv=find(a,n); 
  printf(“/n選中的物品爲/n”); 
for (k=0;k<n;k++) 
    if (option[k])   printf(“%4d”,k+1); 
  printf(“/n總價值爲%.2f/n”,maxv); 
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