LA3027之並查集

在處理一些有N個元素的合併於查詢問題時，我們經常會使用到並查集(union-find set)這樣一種樹形數據結構來處理，一般來說這樣的問題都是看似很簡單，但是數據量很大，容易超時，但是採用並查集這種數據結構卻能很容易解決這些問題。

一般來說，並查集使用數組來實現，它實現的功能也很簡單，主要涉及兩個基本操作：

1.合併(union)兩個不相交集合

2.判斷兩個元素是否屬於同一集合(find).

基本操作：

1.union(x, y)

首先，初始化一個數組p[ ],其中p[ i ] = i，即每個節點都初始化爲自己的父節點，union主要就是分別找到x和y所屬集合的根節點root，將其中一個root指向另一個root，即p[root1] = p[root2].

2.find(x)

遞歸的方式找到x所在集合的根節點root 。

3.路徑壓縮

可以看出來，經過union實現的集合的結構可能會是一個只有一條鏈的樹，那麼這樣的話每次find操作的複雜度都會達到O( n )，爲了避免這種情況，便有了一種巧妙的方法，因爲find操作時遞歸的實現，每次遞歸中找到root節點時就將所有子孫節點都指向該節點，這樣的話以後每次find操作都將達到O(1)的複雜度，這就是路徑壓縮。

4.按秩合併

在union時，每次都將節點數較少的集合指向節點數多的集合，這樣的話可以使得最終集合的高度降低，使查找更快。

例程：

int father[MAX]; /*father[x]表示x的父節點*/
int rank[MAX]; /*rank[x]表示x的秩*/

void init(void)
{
	for(int i=0; i<MAX; i++){
		father[x] = x; //根據實際情況指定的父節點可變化
		rank[x] = 0; //根據實際情況初始化秩也有所變化
	}
}

/* 查找x元素所在的集合,回溯時壓縮路徑*/
int find_set(int x)
{
	return father[x] != x ? father[x] = find_set(father[x]) : x;
}

/*按秩合併x,y所在的集合,按秩合併，實時更新秩。
*/
void Union(int x, int y)
{
	x = find_set(x);
	y = find_set(y);
	if (x == y) return;
	if(rank[x]>rank[y]){
		father[y] = x;
		rank[x] += rank[y];
	}
	else{
		father[x] = y;
		rank[y] += rank[x];
	}
}

並查集作爲一種高效的數據結構有很多應用，例如：求無向圖的連通分量個數，LCA問題，帶限制的作業排序，求最小生成樹等，下面這題LA3027便是利用並查集求出無向圖的連通分量個數從而求解。

這個題目中，我們將每個元素看成一個頂點，而每個簡單化合物就是一條邊，當有K個頂點並有K條邊時，說明這些邊構成了一個環，即無向圖的連通分量，所以我們只需要求出有多少個連通分量即可，使用並查集實現，代碼如下：

#include <iostream>
#include <cstdio>
 
using namespace std;

int p[100001];
int sum;

int find_root(int x){
	return p[x] != x ? p[x] = find_root(p[x]) : x;
}

void union_set(int x, int y){
	x = find_root(x);
	y = find_root(y);
	if(x==y){
		sum++;
		//cout<<"#"<<sum<<endl;
	}
	else
		p[x] = y;
}
int main(){
	int x,y;
	while(scanf("%d",&x)==1){
		sum = 0;
		for(int i=0;i<100001;i++)
			p[i] = i;
		while(x!=-1){
			scanf("%d",&y);
			union_set(x,y);
			scanf("%d",&x);
		}
		printf("%d\n",sum);
	}	
	return 0;
}