一.多態線性相鄰連接表決系統的定義
這裏給出一個 的例子做引子。考慮由6個衛星或者地面的中繼站組成的通信系統,假設從s站發射的信號可以傳送到1站、2站和3站,而從1站發送的信號可以被2站、3站和4站同時接收,依次類推。所以即使1站失效或者1站和2站同時失效的時候,系統仍然可以正常運行,也即信號可以從s站通過3站傳送到t站。但是當1站、2站和3站同時都失效時,由於這時信號不能從s站傳送到4站,所以整個系統失效。同理如果任意三個連續(或者更多)的中繼站同時失效,系統都會失效。下面的示意圖(1)就是這個 系統的框圖:(其中中繼站1-6相互獨立,並且以概率p隨機失效,其它的站(s,t)和弧線是完全可靠的)
圖一
由此類推, 系統就是組成系統的n個單元是連續並且線性排列的,系統失效的 充要條件 是至少連續的k個單元全部同時失效。
其精確定義[2]: 系統是這樣的一個連續二態系統(coherent binary system) (其中E是線性有限排列的n個二態元素(即 或者1)的集合),X是E的任意子集,當且僅當X含有至少連續的k個元素的時候, (或者 ),則系統失效(或者可靠)(其中 是結構函數)。
系統,可以分爲三類[3]: 1) 單元失效概率相等並且單元之間是統計獨立的系統; 2) 單元失效概率不相等但是單元之間是統計獨立的系統; 3) 單元失效概率不統計獨立,而是存在(k-1)階的馬爾可夫相關性的系統。
二.符號說明
表示 系統的可靠性
表示 系統失效的概率
表示單元的成功和失效概率;
表示單元 的成功和失效概率;
表示j個相同的球放到r個區域內,每個區域最多放m個球的組合數
表示初始概率向量;(1,0,…,0), 向量
表示(1,1,…,1,0), 向量的轉置
其他的符號和具體意義,可以參照相應的文獻。
三.可靠性算法的介紹
Chiang和Niu在1981年[4]提出了一個遞歸算法,其算法的主要思想是用一個n維{0,1}向量X表示系統的狀態(0表示單元失效,1表示單元有效),然後根據檢測X的第一組連續0串來分解出一個子系統從而遞歸求值,如果第一組連續0串至少有k個0( ),則系統失效;如果 ,則系統 的可靠性等價於一個子系統 的可靠性(其中 )。
其遞歸式如下:
(3-1)
其算法複雜度 O(k·n 2 ) 。
Derman,Lieberman和Ross於1982年[5]提出不同於Niu的算法,他們假設已經有j個元素已經失效,但是這j個元素被分配在n-j+1個區域內,每個區域最多放k-1個失效元素,所以:
(3-2)
而組合數 的遞歸算法如下:
(3-3)
(3-4)
從而使算法複雜度降到 O(k 2 ·n) 。
隨後 F.K.Hwang和J.G.Shanthikumar也提出了可靠性的快速算法。其中F.K.Hwang通過設定最後有效的單元i來確定 ,或者設定系統首次在單元i失效來確定 ,從而使得計算複雜度分別降到 O(k·n) 和 O(n) [6];J.G.Shanthikumar延伸了1981年Niu的算法思想,得到式子:
(3-5)
此遞歸算法的算法複雜度是 O(n) [7]。
1984年Chao和Lin用系統的Markov性來計算 的可靠性[8],隨後,Fu等進行了富有成效的探索,利用了單元之間的Markov性簡化了求解 系統的可靠性的形式,歸結如下:
(3-6)
其中 ( 3-2) 只是 ( 3-6) 的特例[9]。
1995年,F.K.Hwang和P.E.Wright提出的算法,可以把算法複雜度降到 O(k 3 ·log(n/k)) [10]。
Lin Min-Sheng則應用了遞歸式:
(3-7)
然後給出了一個 矩陣,其中:
(3-8)
的特性如下:
(3-9)
從而推出:
(3-10)
所以,只要計算出 , 就算出來了,其中 的算法複雜度是 O(log(n)), 作者結合計算 Fibonacci 數列 的 Log算法,使得整個可靠性算法的複雜度降到 O(k 2 ·log(n)) [11]。
以上討論的系統屬於第 1) 、 3) 類。
四.利用最新算法計算 系統可靠性
2001年G.Chaudhuri,K.Hu和N.Afshar提出一個計算所有系統可靠性的C-H-A算法[12],不同於以往的遞歸算法,他們利用結構函數來計算系統可靠性,此算法可以用於1)、2)類的系統。
具體步驟如下:
• 找到系統的最小割集,產生最小割集向量矩陣 ;
• 選擇 的任何兩列,然後用OR(或運算),生成新的列,這些列共有 個,從而生成向量矩陣: ;
• 任取向量矩陣 中的 列,然後用OR運算。一直到任取 列運算後生成的向量矩陣:
;
• 構造一個 向量:前面 個元素是1,然後下面 個元素是 ,依次向下,後面 個元素是 , , 個元素是 , ,最後 個元素是 ;
• 從而得到結構函數: ,其中, 表示矩陣 的座標 的元素;
• 系統可靠性是: 。
下面我們對前面給出的例子用這個算法計算:
• 由上面分析可知其最小割集是 ,所以最小割集向量:
;
• 任意選擇 P的兩列,生成向量矩陣:
;
• 重複 2)的步驟,直到最後任取 列時,生成向量矩陣:
;
• 向量 ;
• 從而得到最後的化簡式:
• 系統可靠性是:
.
由上面的例子可以看出,這個算法可以精確計算系統的可靠性,但是矩陣 的列向量個數會隨着矩陣 的列向量個數 而呈指數增長( ),所以簡化上述算法的工作很有必要。
參考文獻:
[1] W.Kuo,W.Zhang,and M.Zuo, “A consecutive-k-out-of-n:G system: The mirror image of a consecutive-k-out-of-n:F system,” IEEE Trans.Rel, vol.R-39,pp.224-253, 1990.
[2] http://webdoc.sub.gwdg.de/ebook/e/2002/dohmen/Dohmen.pdf.
[3] J.C.Fu. “Reliability of consecutive-k-out-of-n:F systems with (k-1)-step Markov Dependence,” IEEE Trans.Rel, vol.R-36. pp602-606,1986.
[4] D. T.Chiang,S.C.Niu, ‘Reliability of Consecutive-k-out-of-n: F System,' IEEE Trans.Rel, vol.R-30, pp87-89,1981
[5] C.Derman,G.J.Libermann,S.Ross, “On the Consecutive-k-out-of-n:F System,” IEEE Trans.Rel, vol.R-31, pp.57-63,1982
[6] F.K.Hwang, “Fast solutions for consecutive-k-out-of-n:F system,” IEEE Trans.Rel, vol. R-31, pp.447-448,1982.
[7]J.G.Shanthikumar, “Recursive Algorithm to Evaluate the Reliability of a Consecutive-k-out-of-n:F Sysytem,” IEEE Trans.Rel, vol.R-31, pp.442-443,1982.
[8]M.T.Chao,G.D.Lin, “Economical design of large consecutive-k-out-of-n: F system,” IEEE Trans.Rel, vol.R-33,pp.411-413,1984
[9] M.T.Chao,J.C.Fu,M.V.Koutras, “Survey of reliability studies of consecutive-k-out-of-n: F & Related systems,” IEEE Trans.Rel, vol.R-44,pp.120-127,1995.
[10] F.K.Hwang,P.E.Wringht, “An O( )algorithm for the consecutive -k-out-of-n : F system,” IEEE Trans.Rel, vol. R-44,pp.128-131,1995.
[11] M.S.Lin, “ An O Algorithm for computing the reliability of consecutive- k-out-of-n : F systems,” IEEE Trans.Rel, vol.R-53,pp3-6,2004.
[12] G.Chaudhuri,K.Hu,N.Afshar, “A new approach to system reliability,” IEEE Trans.Rel, vol. R-50, pp75-84,2001.