系統可靠性計算方法

可靠性技術是與國民經濟及國防科技密切相關的亟待發展的新興學科分支,世界各發達國家都對此給予高度重視,通過可靠性技術的開發和應用,已經在民用產品與武器裝備的研製中獲取了巨大利益。線性連續多數表決系統是今年來國際上研究的熱點,其在衛星中繼通信,輸油管道網絡等容錯冗餘系統中有廣泛的運用。從上世紀 80年代起,很多學者對其進行了詳細研究[1-12]。這個系統包括 系統,而 系統是等價的[1]

一.多態線性相鄰連接表決系統的定義
    這裏給出一個 的例子做引子。考慮由6個衛星或者地面的中繼站組成的通信系統,假設從s站發射的信號可以傳送到1站、2站和3站,而從1站發送的信號可以被2站、3站和4站同時接收,依次類推。所以即使1站失效或者1站和2站同時失效的時候,系統仍然可以正常運行,也即信號可以從s站通過3站傳送到t站。但是當1站、2站和3站同時都失效時,由於這時信號不能從s站傳送到4站,所以整個系統失效。同理如果任意三個連續(或者更多)的中繼站同時失效,系統都會失效。下面的示意圖(1)就是這個 系統的框圖:(其中中繼站1-6相互獨立,並且以概率p隨機失效,其它的站(s,t)和弧線是完全可靠的)


圖一


    由此類推, 系統就是組成系統的n個單元是連續並且線性排列的,系統失效的 充要條件 是至少連續的k個單元全部同時失效。
    其精確定義[2]系統是這樣的一個連續二態系統(coherent binary system) (其中E是線性有限排列的n個二態元素(即 或者1)的集合),X是E的任意子集,當且僅當X含有至少連續的k個元素的時候, (或者 ),則系統失效(或者可靠)(其中 是結構函數)。
    系統,可以分爲三類[3]1) 單元失效概率相等並且單元之間是統計獨立的系統; 2) 單元失效概率不相等但是單元之間是統計獨立的系統; 3) 單元失效概率不統計獨立,而是存在(k-1)階的馬爾可夫相關性的系統。

二.符號說明
    表示 系統的可靠性
    表示 系統失效的概率
    *表示單元的成功和失效概率;
    表示單元 的成功和失效概率;
    表示j個相同的球放到r個區域內,每個區域最多放m個球的組合數
    表示初始概率向量;(1,0,…,0), 向量
    表示(1,1,…,1,0), 向量的轉置
    其他的符號和具體意義,可以參照相應的文獻。

三.可靠性算法的介紹
    Chiang和Niu在1981年[4]提出了一個遞歸算法,其算法的主要思想是用一個n維{0,1}向量X表示系統的狀態(0表示單元失效,1表示單元有效),然後根據檢測X的第一組連續0串來分解出一個子系統從而遞歸求值,如果第一組連續0串至少有k個0( ),則系統失效;如果 ,則系統 的可靠性等價於一個子系統 的可靠性(其中 )。
    其遞歸式如下:
    (3-1)
    
其算法複雜度 O(k·n 2 )
    Derman,Lieberman和Ross於1982年[5]提出不同於Niu的算法,他們假設已經有j個元素已經失效,但是這j個元素被分配在n-j+1個區域內,每個區域最多放k-1個失效元素,所以:
    (3-2)
    
而組合數 的遞歸算法如下:
    (3-3)
    
(3-4)
    
從而使算法複雜度降到 O(k 2 ·n)
    隨後 F.K.Hwang和J.G.Shanthikumar也提出了可靠性的快速算法。其中F.K.Hwang通過設定最後有效的單元i來確定 ,或者設定系統首次在單元i失效來確定 ,從而使得計算複雜度分別降到 O(k·n) O(n) [6];J.G.Shanthikumar延伸了1981年Niu的算法思想,得到式子:
    (3-5)
    
此遞歸算法的算法複雜度是 O(n) [7]
    1984年Chao和Lin用系統的Markov性來計算 的可靠性[8],隨後,Fu等進行了富有成效的探索,利用了單元之間的Markov性簡化了求解 系統的可靠性的形式,歸結如下:
    (3-6)
    
其中 ( 3-2) 只是 ( 3-6) 的特例[9]
    1995年,F.K.Hwang和P.E.Wright提出的算法,可以把算法複雜度降到 O(k 3 ·log(n/k)) [10]。
    Lin Min-Sheng則應用了遞歸式:
    (3-7)
    
然後給出了一個 矩陣,其中:
    (3-8)
    
*的特性如下:
    (3-9)
    
從而推出:
    (3-10)
    
所以,只要計算出 就算出來了,其中 的算法複雜度是 O(log(n)), 作者結合計算 Fibonacci 數列 的 Log算法,使得整個可靠性算法的複雜度降到 O(k 2 ·log(n)) [11]
    以上討論的系統屬於第 1) 3) 類。

四.利用最新算法計算 系統可靠性
    2001年G.Chaudhuri,K.Hu和N.Afshar提出一個計算所有系統可靠性的C-H-A算法[12],不同於以往的遞歸算法,他們利用結構函數來計算系統可靠性,此算法可以用於1)、2)類的系統。
    具體步驟如下:
    •  找到系統的最小割集,產生最小割集向量矩陣
    •  選擇 的任何兩列,然後用OR(或運算),生成新的列,這些列共有 個,從而生成向量矩陣:
    •  任取向量矩陣 中的 列,然後用OR運算。一直到任取 列運算後生成的向量矩陣:
    
    •  構造一個 向量:前面 個元素是1,然後下面 個元素是 ,依次向下,後面 個元素是 個元素是 ,最後 個元素是
    •  從而得到結構函數: ,其中, 表示矩陣 的座標 的元素;
    •  系統可靠性是:
    下面我們對前面給出的例子用這個算法計算:
    •  由上面分析可知其最小割集是 ,所以最小割集向量:
    
    •  任意選擇 P的兩列,生成向量矩陣:
    
    •  重複 2)的步驟,直到最後任取 列時,生成向量矩陣:
    
    •  向量
    •  從而得到最後的化簡式:
    
    •  系統可靠性是:
    .
    由上面的例子可以看出,這個算法可以精確計算系統的可靠性,但是矩陣 的列向量個數會隨着矩陣 的列向量個數 而呈指數增長( ),所以簡化上述算法的工作很有必要。

參考文獻:
    [1] W.Kuo,W.Zhang,and M.Zuo, “A consecutive-k-out-of-n:G system: The mirror image of a consecutive-k-out-of-n:F system,” IEEE Trans.Rel, vol.R-39,pp.224-253, 1990.
    [2] http://webdoc.sub.gwdg.de/ebook/e/2002/dohmen/Dohmen.pdf.
    [3] J.C.Fu. “Reliability of consecutive-k-out-of-n:F systems with (k-1)-step Markov Dependence,” IEEE Trans.Rel, vol.R-36. pp602-606,1986.
    [4] D. T.Chiang,S.C.Niu, ‘Reliability of Consecutive-k-out-of-n: F System,' IEEE Trans.Rel, vol.R-30, pp87-89,1981
    [5] C.Derman,G.J.Libermann,S.Ross, “On the Consecutive-k-out-of-n:F System,” IEEE Trans.Rel, vol.R-31, pp.57-63,1982
    [6] F.K.Hwang, “Fast solutions for consecutive-k-out-of-n:F system,” IEEE Trans.Rel, vol. R-31, pp.447-448,1982.
    [7]J.G.Shanthikumar, “Recursive Algorithm to Evaluate the Reliability of a Consecutive-k-out-of-n:F Sysytem,” IEEE Trans.Rel, vol.R-31, pp.442-443,1982.
    [8]M.T.Chao,G.D.Lin, “Economical design of large consecutive-k-out-of-n: F system,” IEEE Trans.Rel, vol.R-33,pp.411-413,1984
    [9] M.T.Chao,J.C.Fu,M.V.Koutras, “Survey of reliability studies of consecutive-k-out-of-n: F & Related systems,” IEEE Trans.Rel, vol.R-44,pp.120-127,1995.
    [10] F.K.Hwang,P.E.Wringht, “An O( )algorithm for the consecutive -k-out-of-n : F system,” IEEE Trans.Rel, vol. R-44,pp.128-131,1995.
    [11] M.S.Lin, “ An O Algorithm for computing the reliability of consecutive- k-out-of-n : F systems,” IEEE Trans.Rel, vol.R-53,pp3-6,2004.
    [12] G.Chaudhuri,K.Hu,N.Afshar, “A new approach to system reliability,” IEEE Trans.Rel, vol. R-50, pp75-84,2001.

 
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