動態規劃的解題思路是如何形成的

機器人走路問題

一個機器人可以在1~N上行走，每一步可以向前或向後走，給定起點S > 1，終點 < N，每一次行走K步，機器人從S走到E一共有多少種方法。

暴力遞歸

 

 

暴力遞歸存在大量重複的遞歸過程。可以用空間換取時間，記錄可能出現的重複解，之後不需要遞歸展開直接拿到之前算過的值。即，記憶化搜索。時間複雜度O(2^K)

 1     public static int walkMethod(int N, int start, int end, int K){
 2         return process(N,start,end,K);
 3     }
 4     /**
 5      * 
 6      * @param N 一共有N個位置
 7      * @param cur 當前在哪個位置
 8      * @param end 最終的目標位置
 9      * @param restK 可以走幾步
10      * @return
11      */
12     private static int process(int N, int cur, int end, int restK) {
13         if(restK == 0){//不能繼續走了
14             return cur == end? 1:0;//找到1種 或者 沒找到
15         }
16         if(cur == 1){//只有一種走法 向右走
17             return process(N,2,end,restK-1);
18         }
19         if(cur == N){//只有一種走法 向左走
20             return process(N,N-1,end,restK-1);
21         }
22         //可以向左走 或者 向右走
23         return process(N,cur-1,end,restK-1) + 
24                 process(N,cur+1,end,restK-1);
25     }

記憶化搜索

時間複雜度O(K*N)

 1     public static int walkMethod2(int N, int start, int end, int K) {
 2         int dp[][] = new int[K + 1][N + 1];
 3         for (int i = 1; i <= K; i++) {
 4             for (int j = 0; j <= N; j++) {
 5                 dp[i][j] = -1;
 6             }
 7         }
 8         return process2(N, start, end, K, dp);
 9     }
10 
11     private static int process2(int N, int cur, int end, int restK, int[][] dp) {
12         if (dp[restK][cur] != -1) {
13             return dp[restK][cur];//之前計算過 直接return
14         }
15         if (restK == 0) {
16             dp[restK][cur] = cur == end ? 1 : 0;
17             return dp[restK][cur];
18         }
19         if (cur == 1) {
20             dp[restK][cur] = process2(N, cur + 1, end, restK - 1, dp);
21         }else if (cur == N) {
22             dp[restK][cur] = process2(N, cur - 1, end, restK - 1, dp);
23         }else{
24             dp[restK][cur] = process2(N, cur - 1, end, restK - 1, dp) + process2(N, cur + 1, end, restK - 1, dp);
25         }
26         return dp[restK][cur];
27     }

嚴格表結構

表的含義是：restK步走到cur有f(restK, cur)種方法

從開始 2 走到 終點 4 【f(0,4) = 1 f(0,else) = 0】走4步有多少種方法

 

 

 

dp(restK, cur) = dp(restK-1, cur-1) 【cur == N】

dp(restK, cur) = dp(restK+1, cur-1) 【cur == 1】

dp(restK, cur) = dp(restK-1, cur-1) + dp(restK+1, cur-1)  【1<cur<N】

return dp(K, start)