鏈表環路檢測及環入口定位是一個非常經典的算法問題，它可在死鎖檢測等實際應用場景發揮重要作用。想必大家都知道這個問題應該使用快慢指針去求解，因爲它具有最優的時間複雜度O(n)。但是大家可能對快慢指針的數學原理不是很清楚，爲啥它能達到最優。詳細讀了這篇文章，大家必定豁然開朗，掌握快慢指針背後的數學原理。
我們直接來看圖。
先講一下鏈表環路檢測的原理，相比環入口定位，原理比較簡單。
起點設置兩個快慢指針，同時開始往後跑，每跑一次必須檢測快指針是否到達鏈表末尾(下一個節點值爲null)，如果到達鏈表末尾則證明該鏈表無環。如果該鏈表存在環，則快慢指針總有邂逅（相遇）的那一刻，由此每跑一次，除了檢測快指針是否到達鏈表末尾，還需檢測快慢指針所在節點是否相同，相同則代表兩指針相遇了，即環存在。爲什麼環存在時快慢指針一定會相遇呢，想必不用過多解釋了，舉個簡單生活中例子，兩個人在足球場跑步，同一起點出發，跑的快的人一定會在某一時刻追上跑的慢的人（多跑一圈）。
現在來分析環入口定位的原理。
環入口定位的前提是先找到快慢指針相遇點，即上述所講的鏈表環檢測操作（注意存在一個限定條件，快指針的步長必須爲2，慢指針步長必須爲1）。當找到相遇點後，在起點處和相遇點處分別設置指針p1和p2，步長均爲1，它們同時往後跑，當p1，p2相遇時，它們的相遇點便是環入口。
現在來一波數學推理，證明一下上述算法的正確性。
x爲起點至環入口點的距離，y爲環入口至快慢指針相遇點的距離，z爲快慢指針相遇點至環入口的距離。
假設相遇時，快指針繞環跑了m圈，則快指針所跑路程爲
等式推導如下：
由推導結果可知，起點至環入口的距離x爲環周長c的
在起點處和快慢指針相遇點處分別設置指針p1，p2，兩指針速度一致，當p1走了
我們知道p2的出發點正好是快慢指針的相遇點，即便繞着環走了
從上述推算，我們已經得知p1和p2距離環入口點的距離相同，均爲z。
兩個指針再往後走z的距離，便會相遇，相遇點便恰好是環入口點。
至此，環入口定位的算法原理講解完畢。
現在來分析一波邊界情況，以此證明上述公司的正確性。慢指針最少需要跑0圈，即進入環後第一次經過相遇點就被快指針追上了，所以n最小值爲0。快指針要追上慢指針，至少要比慢指針多跑一圈，根據這些已知條件，可作推理如下：
已知
已知
得 
將
得
因此，證明出x不可能爲負，即起點距離環入口點距離不爲負，符合常規事實，算法嚴謹性得證。
希望看完這篇文章的讀者朋友們能夠恍然大悟，掌握鏈表環問題的核心原理。如有不懂的地方，歡迎評論區留言。