題目說明
給定一個整數數組 A,返回其中元素之和可被 K 整除的(連續、非空)子數組的數目。
示例:
輸入:A = [4,5,0,-2,-3,1], K = 5
輸出:7
解釋:
有 7 個子數組滿足其元素之和可被 K = 5 整除:
[4, 5, 0, -2, -3, 1], [5], [5, 0], [5, 0, -2, -3], [0], [0, -2, -3], [-2, -3]
提示:
1 <= A.length <= 30000
-10000 <= A[i] <= 10000
2 <= K <= 10000
解題思路一(暴力枚舉,O(n^3))
- 暴力枚舉所有的前序和,判斷
對K取模
是否爲0
,爲0
則結果+1
代碼實現一
/**
* @param {number[]} A
* @param {number} K
* @return {number}
*/
var subarraysDivByK = function(A, K) {
let res = 0;
for (let i = 0; i < A.length; i++) {
let prev = 0;
for (let j = i; j >= 0; j--) {
prev += A[j];
if (prev % K === 0) {
res++
}
}
}
return res;
};
解題思路二(暴力枚舉優化,O(n^2))
- 將兩層for循環中的求前序和操作,提前求。
- 那麼我們求i之前的所有前序和就變成了,求
p[i] - p[j]
(j的範圍是0 ~ i-1)
- 判斷
p[i] - p[j]
對K去模是否爲0,爲0則結果+1
代碼實現二
/**
* @param {number[]} A
* @param {number} K
* @return {number}
*/
var subarraysDivByK = function(A, K) {
let res = 0;
let p = new Array(A.length);
for (let i = 0; i < A.length; i++) {
p[i] = A.slice(0, i+1).reduce((sum, item, key, arr) => {
return sum += item;
}, 0);
for( let j = i - 1; j >= 0; j--) {
if((p[i] - p[j]) % K === 0) {
res++
}
}
if(p[i] % K === 0) {
res++
}
}
return res;
};
解題思路三(同餘定理,O(n))
先理解一個數學問題, 假設
a = 8,b = 13
, 同時mod5
,那麼a % 5 == 3,b % 5 == 3,即a % 5 == b % 5
則(b - a) % 5 == 0
,即對同一數取模相同的兩個值,其差值可整除該數。
- 將兩層for循環中的求前序和操作,提前求前序和序列p。
- 得到所有的前序和p之後,理解說明若
p[i] % K === p[j] % K
則p[i] - p[j] % 5 === 0
那麼j
到i
就是我們求的一個目標子序列。 - 所以我們建立一個
hash
,用來存儲p序列取模之後
的值。hash
的鍵值範圍是(0 ~ K -1)
因爲是對K取餘,所以值只可能出現在該範圍中。 - 由於該hash的標記跟數組下標正好對應,所以hash就聲明爲一個數組。
- 以示例爲例
1. 輸入:A = [4,5,0,-2,-3,1], K = 5
2. p序列爲[4, 9, 9, 7, 4, 5]
取模之後的序列爲[4, 4, 4, 2, 4, 0]
記錄到hash中
3. hash =[1, 0, 1, 0, 4]
4. 接下來就是排列組合的問題了,將hash列表中> 1
的值進行計算n * ( n - 1 ) / 2
取和
5. 最後再加上hash[0]
的個數,因爲hash[0]
標記的是取模之後爲0
的值的個數,本身就屬於目標子序列。 - 第五步我們是先求出hash表才計算個數,我們也可以在完善hash的同時計算。
- 比如p序列爲
[4, 9, 9, 7, 4, 5]
去模的過程中統計。 - 計算第
1
個取模,模值爲4,res += hash[4],
hash[4]++,
由於4
是第1
次出現所以目前res+=0
- 計算第
2
個取模,模值爲4,res += hash[4],
hash[4]++,
由於4
是第2
次出現所以目前res+=1
,子序列下標範圍是[0,1]
- 計算第3個取模,模值爲4,
res += hash[4],
hash[4]++,
由於4
是第3
次出現所以目前res+=2
,子序列下標範圍是[0,1,2],[1,2]
因爲4出現3次,所以第3個4可以和前兩個組合。 - 依次類推。
- 比如p序列爲
代碼實現三
/**
* @param {number[]} A
* @param {number} K
* @return {number}
*/
var subarraysDivByK = function(A, K) {
let hash = new Array(K).fill(0);
let sum = 0;
let res = 0;
for (let i = 0; i < A.length; i++) {
sum += A[i];
let key = sum % K;
key = key < 0 ? (key + K) : key; //處理負數的情況, (3 - (-2)) % 5 === 0
res += hash[key];
hash[key]++;
}
return res + hash [0];
};