前段時間，小灰髮布了紅黑樹相關的文章，分成上下篇來講解。
這一次，小灰把兩篇文章做了整合，並且修正了紅黑樹刪除部分的圖片錯誤，感謝大家的指正。
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二叉查找樹（BST）具備什麼特性呢？
1.左子樹上所有結點的值均小於或等於它的根結點的值。
2.右子樹上所有結點的值均大於或等於它的根結點的值。
3.左、右子樹也分別爲二叉排序樹。
下圖中這棵樹，就是一顆典型的二叉查找樹：
1.查看根結點9：
2.根據二叉查找樹左子樹小、右子樹大的特性，10 > 9，因此值爲10的結點只可能在根結點的右子樹當中，我們查看右孩子結點13：
3.由於10 < 13，因此查看左孩子11：
4.由於10 < 11，因此查看左孩子10，發現10正是要查找的結點：
假設初始的二叉查找樹只有三個結點，根結點值爲9，左孩子值爲8，右孩子值爲12：
接下來我們依次插入如下五個結點：7,6,5,4,3。依照二叉查找樹的特性，結果會變成什麼樣呢？
1.結點是紅色或黑色。
2.根結點是黑色。
3.每個葉子結點都是黑色的空結點（NIL結點）。
4 每個紅色結點的兩個子結點都是黑色。(從每個葉子到根的所有路徑上不能有兩個連續的紅色結點)
5.從任一結點到其每個葉子的所有路徑都包含相同數目的黑色結點。
下圖中這棵樹，就是一顆典型的紅黑樹：
什麼情況下會破壞紅黑樹的規則，什麼情況下不會破壞規則呢？我們舉兩個簡單的例子：
1.向原紅黑樹插入值爲14的新結點：
由於父結點15是黑色結點，因此這種情況並不會破壞紅黑樹的規則，無需做任何調整。
2.向原紅黑樹插入值爲21的新結點：
由於父結點22是紅色結點，因此這種情況打破了紅黑樹的規則4（每個紅色結點的兩個子結點都是黑色），必須進行調整，使之重新符合紅黑樹的規則。
變色：
爲了重新符合紅黑樹的規則，嘗試把紅色結點變爲黑色，或者把黑色結點變爲紅色。
下圖所表示的是紅黑樹的一部分（子樹），新插入的結點Y是紅色結點，它的父親結點X也是紅色的，不符合規則4，因此我們可以把結點X從紅色變成黑色：
但是，僅僅把一個結點變色，會導致相關路徑憑空多出一個黑色結點，這樣就打破了規則5。因此，我們需要對其他結點做進一步的調整，後文會詳細說明。
左旋轉：
逆時針旋轉紅黑樹的兩個結點，使得父結點被自己的右孩子取代，而自己成爲自己的左孩子。說起來很怪異，大家看下圖：
圖中，身爲右孩子的Y取代了X的位置，而X變成了自己的左孩子。此爲左旋轉。
右旋轉：
順時針旋轉紅黑樹的兩個結點，使得父結點被自己的左孩子取代，而自己成爲自己的右孩子。大家看下圖：
圖中，身爲左孩子的Y取代了X的位置，而X變成了自己的右孩子。此爲右旋轉。
局面1：新結點（A）位於樹根，沒有父結點。
(空心三角形代表結點下面的子樹)
這種局面，直接讓新結點變色爲黑色，規則2得到滿足。同時，黑色的根結點使得每條路徑上的黑色結點數目都增加了1，所以並沒有打破規則5。
局面2：新結點（B）的父結點是黑色。
這種局面，新插入的紅色結點B並沒有打破紅黑樹的規則，所以不需要做任何調整。
局面3：新結點（D）的父結點和叔叔結點都是紅色。
這種局面，兩個紅色結點B和D連續，違反了規則4。因此我們先讓結點B變爲黑色：
這樣一來，結點B所在路徑憑空多了一個黑色結點，打破了規則5。因此我們讓結點A變爲紅色：
這時候，結點A和C又成爲了連續的紅色結點，我們再讓結點C變爲黑色：
經過上面的調整，這一局部重新符合了紅黑樹的規則。
局面4：新結點（D）的父結點是紅色，叔叔結點是黑色或者沒有叔叔，且新結點是父結點的右孩子，父結點（B）是祖父結點的左孩子。
我們以結點B爲軸，做一次左旋轉，使得新結點D成爲父結點，原來的父結點B成爲D的左孩子：
這樣一來，進入了局面5。
局面5：新結點（D）的父結點是紅色，叔叔結點是黑色或者沒有叔叔，且新結點是父結點的左孩子，父結點（B）是祖父結點的左孩子。
我們以結點A爲軸，做一次右旋轉，使得結點B成爲祖父結點，結點A成爲結點B的右孩子：
接下來，我們讓結點B變爲黑色，結點A變爲紅色：
經過上面的調整，這一局部重新符合了紅黑樹的規則。
以上就是紅黑樹插入操作所涉及的5種局面。
或許有人會問，如果局面4和局面5當中的父結點B是祖父結點A的右孩子該怎麼辦呢？
很簡單，如果局面4中的父結點B是右孩子，則成爲了局面5的鏡像，原本的右旋操作改爲左旋；如果局面5中的父結點B是右孩子，則成爲了局面4的鏡像，原本的左旋操作改爲右旋。
給定下面這顆紅黑樹，新插入的結點是21：
顯然，新結點21和它的父結點22是連續的紅色結點，違背了規則4，我們應該如何調整呢？
讓我們回顧一下剛纔講的5種局面，當前的情況符合局面3：
“新結點的父結點和叔叔結點都是紅色。”
於是我們經過三次變色，22變爲黑色，25變爲紅色，27變爲黑色：
經過上面的調整，以結點25爲根的子樹符合了紅黑樹規則，但結點25和結點17成爲了連續的紅色結點，違背規則4。
於是，我們把結點25看做一個新結點，正好符合局面5的鏡像：
“新結點的父結點是紅色，叔叔結點是黑色或者沒有叔叔，且新結點是父結點的右孩子，父結點是祖父結點的右孩子”
於是我們以根結點13爲軸進行左旋轉，使得結點17成爲了新的根結點：
接下來，讓結點17變爲黑色，結點13變爲紅色：
如此一來，我們的紅黑樹變得重新符合規則。
二叉查找樹是如何進行刪除操作的呢？可以分成三種情況。
情況1，待刪除的結點沒有子結點：
上圖中，待刪除的結點12是葉子結點，沒有孩子，因此直接刪除即可：
情況2，待刪除的結點有一個孩子：
上圖中，待刪除的結點13只有左孩子，於是我們讓左孩子結點11取代被刪除的結點，結點11以下的結點關係無需變動：
情況3，待刪除的結點有兩個孩子：
上圖中，待刪除的結點5有兩個孩子，這種情況比較複雜。此時，我們需要選擇與待刪除結點最接近的結點來取代它。
上面的例子中，結點3僅小於結點5，結點6僅大於結點5，兩者都是合適的選擇。但習慣上我們選擇僅大於待刪除結點的結點，也就是結點6來取代它。
於是我們複製結點6到原來結點5的位置：
被選中的結點6，僅大於結點5，因此一定沒有左孩子。所以我們按照情況1或情況2的方式，刪除多餘的結點6:
紅黑樹的特性（規則）如下：
1.結點是紅色或黑色。
2.根結點是黑色。
3.每個葉子結點都是黑色的空結點（NIL結點）。
4.每個紅色結點的兩個子結點都是黑色。(從每個葉子到根的所有路徑上不能有兩個連續的紅色結點)
5.從任一結點到其每個葉子的所有路徑都包含相同數目的黑色結點。
下面我們通過一個例子，來看一看刪除紅黑樹的結點會對規則產生怎樣的影響：
上圖的這顆紅黑樹，待刪除的是黑色結點1，有一個右孩子。根據二叉查找樹的刪除流程，我們讓右孩子結點6直接取代結點1：
顯然，這顆新的二叉樹打破了兩個規則：
規則4. 每個紅色結點的兩個子結點都是黑色。
規則5. 從任一結點到其每個葉子的所有路徑都包含相同數目的黑色結點。
第一步：如果待刪除結點有兩個非空的孩子結點，轉化成待刪除結點只有一個孩子（或沒有孩子）的情況。
上面例子是一顆紅黑樹的局部，標數字的三角形代表任意形態的子樹，假設結點8是待刪除結點。
根據上文講解的二叉查找樹刪除流程，由於結點8有兩個孩子，我們選擇僅大於8的結點10複製到8的位置，結點顏色變成待刪除結點的顏色：
接下來我們需要刪除紅色的結點10：
紅色結點10能成爲僅大於8的結點，必定沒有左孩子結點，所以問題轉換成了待刪除結點只有一個右孩子（或沒有孩子）的情況。接下來我們進入第二步。
第二步：根據待刪除結點和其唯一子結點的顏色，分情況處理。
情況1，自身是紅色，子結點是黑色：
這種情況最簡單，按照二叉查找樹的刪除操作，刪除結點1即可：
情況2，自身是黑色，子結點是紅色：
這種情況也很簡單，首先按照二叉查找樹的刪除操作，刪除結點1：
此時，這條路徑憑空減少了一個黑色結點，那麼我們把結點2變成黑色即可：
情況3，自身是黑色，子結點也是黑色，或者子結點是空葉子結點：
這種情況最複雜，涉及到很多變化。首先我們還是按照二叉查找樹的刪除操作，刪除結點1：
顯然，這條路徑上減少了一個黑色結點，而且結點2再怎麼變色也解決不了。
這時候我們進入第三步，專門解決父子雙黑的情況。
第三步：遇到雙黑結點，在子結點頂替父結點之後，分成6種子情況處理。
子情況1，結點2是紅黑樹的根結點：
此時所有路徑都減少了一個黑色結點，並未打破規則，不需要調整。
子情況2，結點2的父親、兄弟、侄子結點都是黑色：
此時，我們直接把結點2的兄弟結點B改爲紅色：
這樣一來，原本結點2所在的路徑少了一個黑色結點，現在結點B所在的路徑也少了一個黑色結點，兩邊“扯平”了。
可是，結點A以下的每一條路徑都減少了一個黑色結點，與結點A之外的其他路徑又造成了新的不平衡啊？
沒關係，我們讓結點A扮演原先結點2的角色，進行遞歸操作，重新判斷各種情況。
子情況3，結點2的兄弟結點是紅色：
首先以結點2的父結點A爲軸，進行左旋：
然後結點A變成紅色、結點B變成黑色：
這樣的意義是什麼呢？結點2所在的路徑仍然少一個黑色結點呀？
別急，這樣的變化有可能轉換成子情況4、5、6中的任意一種，在子情況4、5、6當中會進一步解決。
子情況4，結點2的父結點是紅色，兄弟和侄子結點是黑色：
這種情況，我們直接讓結點2的父結點A變成黑色，兄弟結點B變成紅色：
這樣一來，結點2的路徑補充了黑色結點，而結點B的路徑並沒有減少黑色結點，重新符合了紅黑樹的規則。
子情況5，結點2的父結點隨意，兄弟結點B是黑色右孩子，左侄子結點是紅色，右侄子結點是黑色：
這種情況下，首先以結點2的兄弟結點B爲軸進行右旋：
接下來結點B變爲紅色，結點C變爲黑色：
這樣的變化轉換成了子情況6。
子情況6，結點2的父結點隨意，兄弟結點B是黑色右孩子，右侄子結點是紅色：
首先以結點2的父結點A爲軸左旋：
接下來讓結點A和結點B的顏色交換，並且結點D變爲黑色：
這樣是否解決了問題呢？
經過結點2的路徑由（隨意+黑）變成了（隨意+黑+黑），補充了一個黑色結點；
經過結點D的路徑由（隨意+黑+紅）變成了（隨意+黑），黑色結點並沒有減少。
所以，這時候重新符合了紅黑樹的規則。
以上就是紅黑樹刪除的全過程。
給定下面這顆紅黑樹，待刪除的是結點17：
第一步，由於結點17有兩個孩子，子樹當中僅大於17的結點是25，所以把結點25複製到17位置，保持黑色：
接下來，我們需要刪除原本的結點25：
這個情況正好對應於第二步的情況三，即待刪除結點是黑色，子結點是空葉子結點。
於是我們刪除框框中結點25，進入第三步：
此時，框框中的結點雖然是空葉子結點，但仍然可以用於判斷局面，當前局面符合子情況5的鏡像：
於是我們通過左旋和變色，把子樹轉換成情況6的鏡像：
再經過右旋、變色，子樹最終成爲了下面的樣子：
這樣一來，整顆二叉樹又重新符合了紅黑樹的規則。
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