同餘式與線性同餘式定理

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同餘式的定義與性質

整除性是數論的有利工具。下面介紹一種同餘式理論，可以簡便的表達整除性質。

如果 $m$ 整除 $a-b$ 那麼定義：$a$ 與 $b$ 模 $m$ 同餘，記爲
$a\equiv b(\ mod\ m)$
特別的，如果 $a$ 除以 $m$ 得餘數 $r$ ，則 $a$ 與 $r$ 模 $m$ 同餘。餘數滿足 $0\leq r<m$ ，故每個整數必與 $[0,m-1]$ 之間的一個數模 $m$ 同餘

具有相同模的同餘式滿足加法和乘法 ：
$a_1\equiv b_1(\ mod\ m),\quad a_2\equiv b_2(\ mod\ m)$
則：
$a_1+a_2\equiv b_1+b_2(\ mod\ m),\quad a_1a_2\equiv b_1b_2(\ mod\ m)$

但是如果 $ac\equiv bc(\ mod\ m)$ ，則 $a\equiv b(\ mod\ m)$ 未必成立。而且可能有 $uv\equiv 0(\ mod\ m)$ 但 $u\not\equiv0(\ mod\ m),v\not\equiv0(\ mod\ m)$ .但是，如果 $gcd(c,m)=1$，則可以從$ac\equiv bc(\ mod\ m)$ 兩端消去 $c$ 。

證明：若 $gcd(c,m)=1$ 則 可以從$ac\equiv bc(\ mod\ m)$ 兩端消去 $c$

由於
$m\mid(ac-bc)$

$m\mid c(a-b)$

又因爲 $gcd(c,m)=1$ ，則根據線性方程定理：
$mx+cy=1$
必有整數解，方程兩邊同乘 $(a-b)$
$m(a-b)x+c(a-b)y=(a-b)$
有整數解。顯然 $m\mid m(a-bx),m\mid c(a-b)y$ ，則：
$m\mid (a-b)$

根據同餘式的定義，有：
$a=b(\ mod\ m)$

同餘式方程、線性同餘式定理

現有方程：
$ax\equiv c(\ mod\ m)$
應該如何求得其解呢？

該方程可以表示爲：
$m\mid ax-c$
即存在 $y$ 使得 $ax-c=my$，即：
$ax-my=c$
這就將這一同餘式方程轉化爲線性方程了，則該同餘式方程有解的條件可以根據線性方程定理得出：

假設 $g=gcd(a,m)$, 當 $g\mid c$ 時，該方程有解。當方程有解時，使用歐幾里得算法可以求出 方程 $au+mv=g$ 的一組解 $u=u_0, v=v_o$.由於此時 $g\mid c$ ，方程兩邊同乘 $c/g$ 得：
$a\frac{cu_0}g+m\frac{cv_0}g=c$
即：$x_0\equiv\frac{cu_0}g(\ mod\ m)$ 是同餘式方程 $ax\equiv c(\ mod \ m)$ 的解。

這樣，就求出了同餘式方程的一個解，但是同餘式方程往往不止一個解。假設 $x_1$ 是方程的另一個解，則 $ax_1\equiv ax_0(\ mod\ m)$ ,所以 $m$ 整除 $ax_1-ax_0$ 則：
$\frac m g \mid \frac{a(x_1-x_0)}g$
已知 $gcd(m/g,a/g)=1$ ，故 $m/g\mid(x_1-x_0)$ ，則存在整數 $k$ 使：
$x_1=x_0+k\frac m g$
上式中由 $m$ 的倍數所得的任何兩個不同解被視爲相同解。則正好有 g 個不同解，在 $k=0,0,\dots,g-1$ 處取得。

將結果總結成定理，就得到了線性同餘式定理：

線性同餘式定理 ：設 $a,c,m$ 是整數，$m>1$ 且設 $g=gcd(a,m)$

1. 如果 $g\nmid c$ 則同餘式 $ax\equiv c(\ mod\ m)$ 無解

2. 如果 $g\mid c$ 則同餘式 $ax\equiv c(\ mod\ m)$ 有 $g$ 個不同解

要求方程的解，首先使用線性方程定理求 $au+mv=g$ 的一個解 $(u_0,v_0)$ 則 $x_0=cu_0/g$ 是 $ax\equiv c(\ mod\ m)$ 的一個解。

不同餘的完全集由
$x\equiv x_0+k\frac m g,\quad k=0,1,\dots,g-1$
給出。

重要 ：線性同餘式定理最重要的情形是 $gcd(a,m)=1$ 此時同餘式方程只有一個解。我們將其寫成分數：
$x\equiv \frac c a(\ mod\ m)$

線性同餘式定理的編程實現

def linear_equ(a, b):
    if a == 0 or b == 0:
        return -1
    else:
        g, w = a, b
        x, v = 1, 0

        while w != 0:
            t = g % w
            s = x - (g // w) * v
            x, g = v, w
            v, w = s, t

        y = (g - a * x) // b
        return g, x, y


def linear_congruence(a, c, m):
    g, u, v = linear_equ(a, m)
    print(g)
    if c % g == 0:
        x0 = [c * u // g]
        for k in range(g - 1):
            x0.append(x0[0] + k * m // g)
        return x0
    else:
        return -1


a = int(input())
c = int(input())
m = int(input())

print(linear_congruence(a, c, m))

參考文獻：A Brief Introduction to Number Theory --Joseph H.Silverman