排列的生成(二) —— 序數法

1. 定義

$n$個元素的全排列有$n!$個，如果將排列按順序編號，並能夠按照某種方法建立起每一個序號與一個排列之間的對應關係，那麼就可以根據序號確定排列，反過來也可以根據排列確定它的序號。根據排列的序號生成對應排列的方法就稱爲序數法。
$\begin{aligned} n ! &=n(n-1) !=[(n-1)+1](n-1) ! \\ &=(n-1)(n-1) !+(n-1) ! \end{aligned}$
同理可得
$(n-1) !=(n-2)(n-2) !+(n-2) !$
代入上式可得
$\begin{aligned} n ! &=(n-1)(n-1) !+(n-2)(n-2) !+(n-2) ! \\ &=(n-1)(n-1) !+(n-2)(n-2) !+(n-3)(n-3) !+\cdots+2 \cdot 2 !+2 ! \\ &=\sum_{k=1}^{n-1} k \cdot k !+1 \end{aligned}$
上式減1得
$n !-1=(n-1)(n-1) !+(n-2)(n-2) !+\cdots+2 \cdot 2 !+1 \cdot 1 !$
可得到$0$到$n!-1$的整數m可以唯一地表示爲
$m=a_{k-1}(k-1) !+a_{k-2}(k-2) !+\cdots+a_{2} \cdot 2 !+a_{1}$
其中$a_i$滿足$0 \leqslant a_{i} \leqslant k, i=1,2, \cdots, k-1$
所以可以證明$0$到$n!-1$的$n!$個整數和序數$\left(a_{n-1}, a_{n-2}, \cdots, a_{2}, a_{1}\right)$一一對應。

2. 序數法生成全排列算法

由排列$P_1P_2P_3\dots P_n$對應的序數$(a_{n-1}a_{n-2}\dots a_1)$的規則爲:
$a_i$ = $i+1$的右邊比$i+1$小的數字的個數

• 例1：由排列數確定排列的序號
  以1,2,3,4的排列4213爲例，排列4213爲例，排列4213，4的右邊比它小的數有3位，故$a_3=3$；3的右邊比3小的數爲0，故$a_2=0$，2的右方比2小的數爲1，故$a_1=1$，故排列4213對應的序數爲(301)。

• 例2：由排列的序號確定排列數
  承接上一個例子，$a_3 = 3$，故4在排列中所在的位右方小的數有3個，故在排列數中的第一位爲4。$a_2=0$，故3的右方沒有比它小的，故在排列數中的第四位上，以此類推，得到最終的排列數爲4213。

• 例3：$n=4$的序數$(a_3a_2a_1)$與對應的排列