算法：逆元

逆元

定義

一個數$a$的倒數$a^{-1}$滿足$a \times a^{-1} = 1$。取$a$的逆元$(a \mod b)^{-1}$滿足$(a \mod b) \times (a \mod b)^{-1} \mod b = 1$。其中$b$爲質數，$a$的逆元$(a \mod b)^{-1} = a^{b-2} \mod b$。

證明

由費馬小定理得$a^{b-1} \mod b = 1$，即$(a^{b-2} \mod b) \times (a \mod b) \mod b = 1$，故$(a \mod b)^{-1} = a^{b-2} \mod b$。
費馬小定理簡單證明如下：取$A = \{1,2, \dots ,b-1\}$，則$A \mod b = \{1,2, \dots ,b-1\}$；取$a \times A = \{a,2a, \dots, (b-1)a\}$，則$a \times A \mod b = \{1,2, \dots ,b-1\}$仍然成立(此處可見下面證明)。取$A$中所有元素相乘得$S$，取$a \times A$中所有元素相乘得$a^{b-1} \times S$，由$\left\{\begin{array}{cc} S \mod b = (b-1)! \mod b\\ a^{b-1} \times S \mod b = (b-1)! \mod b \end{array}\right.$得$a^{b-1} \mod b = 1$。
下面用反證法證明$a \times A \mod b = \{1,2, \dots ,b-1\}$。對於任意$x,y \in a \times A, x \lt y$，假設$x \mod b = y \mod b$，那麼$(y-x) \mod b = 0$，由$\left\{\begin{array}{cc} y \mod a = 0\\ x \mod a = 0 \end{array}\right.$得$(y-x) \mod a = 0$，由$b$爲質數得$lcm(a, b) = a \times b$，故$(y-x) \mod (a \times b) = 0$，因此$y-x \ge a \times b$，與$x,y \in a \times A$矛盾，由此可得$x \mod b \ne y \mod b$。因此$a \times A \mod b$有$(b-1)$個互不相同的元素，即$a \times A \mod b = \{1,2, \dots ,b-1\}$。

思路

利用快速冪求$a$的逆元$a^{b-2} \mod b$。

時間複雜度

$O(\log n)$

模板

#include "FP.h"

typedef long long LL;
const LL MOD = 1e9+7;  // the divisor of answer

/**
  * @param a: the number a
  * @return: the inverse of a
  * @other: FP is Fast Power 
  */
LL INV(LL a) {
  return FP(a, MOD-2);
}

應用1

求組合數$C_n^m \mod b$。由$C_n^m = \frac {n!}{m!(n-m)!}$得$C_n^{m} \mod b = \frac {n!}{m!(n-m)!} \mod b = (n! \mod b) \times (m! \mod b)^{-1}\times((n-m)! \mod b)^{-1}\mod b$。先預處理$1!,2!,\dots,n!$，時間複雜度爲$O(n)$，再直接求$C_n^m \mod b$，時間複雜度爲$O(1)$。

模板1

#include "INV.h"

const LL N = 1e6+10;  // the maximum number

LL fac[N];  // the factorial of numbers
LL inv[N];  // the inverse of factorial

/**
  * @other: initialize fac and inv
  */
void init() {
  inv[0] = fac[0] = 1;  // 0! = 1, INV(1) = 1
  for (int i = 1; i < N; ++i) {
    fac[i] = fac[i-1] * i % MOD;  // i! = (i-1)! * i
    inv[i] = INV(fac[i]);
  }
}

/**
  * @param n: the number n
  * @param m: the number m
  * @return: C(n, m)
  */
LL C(LL n, LL m) {
  return fac[n] * inv[m] % MOD * inv[n-m] % MOD;
}

應用2

已知$p,q,b$，求$a$滿足$a \times p \mod b = q \mod b$。由$(a \times p \mod b) \times (p \mod b)^{-1} = (q \mod b) \times (p \mod b)^{-1}$得$a = (q \mod b) \times (p \mod b)^{-1}$。

模板2

#include "INV.h"

/**
  * @param p: the number p
  * @param q: the number q
  * @return: the number a
  */
LL cal(LL p, LL q) {
  return q * INV(p) % MOD;
}