一道華爲簡單算法題記錄-汽水瓶

背景

今天公司同事提到了面試一位新人的時候提出的華爲的一道題，感覺有點意思，記錄下吧。
假設一瓶汽水售價1元，3個瓶蓋可以換一瓶汽水，2個瓶子可以換一瓶汽水，問20元可以喝多少汽水。

解法描述

看到這個題目，最直接的做法，就是寫個程序，模擬買汽水-換汽水的過程，直到剩餘的瓶蓋或者瓶體買不到汽水。

然而這樣寫似乎有點太麻煩了，依稀記得這種換汽水問題是小學的必考題，直到初中學了方程才學會智能的解法。小學時我們經常會遇到這樣的問題，汽水1元，2個瓶子可以換一瓶汽水，10元能喝到多少瓶汽水。然後就可以在紙上模擬整個過程了，答案是20瓶。這種題技巧是如果最後只剩下一個空瓶子的時候要向老闆借一瓶，然後湊2個瓶子換一瓶汽水，再把最後的2個瓶子還給老闆。

到了初中，我們學會了列方程解決問題。就換了一種思路，不再一步步推算了。其實從題目描述來看，瓶子和汽水都是有價值的，而作爲消費者我們的目的是爲了喝汽水，所以爲了喝到最多的汽水，我們要把所有的錢都換成汽水。
設汽水的價值是x，汽水瓶子的價值是y。
則有
$\left\{ \begin{array}{lr} x + y = 1 \\ 2y= x + y \end{array} \right.$
從而解得
$\begin{array}{lr} x = \dfrac{1}{2}\\ y = \dfrac{1}{2} \end{array}$
所以能喝到的汽水是$10/\dfrac{1}{2}=20$瓶。
那麼華爲的題目也可以用類似的辦法做。設瓶蓋的價格是x，瓶體的價格是y，汽水的價格是z。
那麼我們可以列出下面方程組
$\begin{array}{lr} 3x &= x+y+z\\ 2y &= x+y+z\\ 1 & = x + y + z \end{array}$
解得
$\begin{array}{lr} x = \dfrac{1}{3}\\ y = \dfrac{1}{2}\\ z= \dfrac{1}{6} \end{array}$
所以如果我們可以把錢全部轉化爲汽水的話，換句話說，允許向老闆賒賬的話則可以喝$20/\dfrac{1}{6}=120$瓶。
然而，這道題其實不允許賒賬。所以直接return 6*x是不行的。
所以老老實實寫程序

#include <stdio.h>
int main(){
int money;
const  int price = 1;
while(1){
	scanf("%d",&money);
	int result,hat,body;
	result= money/price;
	hat = result;
	body = result;
	int tmp = 0;
	while(!(hat<3 && body < 2)){
		tmp = hat/3 + body/2;
		result += tmp;
		hat = hat % 3 + tmp;
		body = body % 2 + tmp;
	}
	printf("%d\n",result);
}
return 0;
}

進一步思考

我們開始定義一下喝汽水的步驟，
(1) 首先將錢換成汽水，將汽水喝完。
(2) 儘可能多的將手中所有的瓶子和瓶蓋換成汽水，如果換不了則結束。
(3) 繼續喝完所有汽水，然後重複步驟二。
按照上述步驟喝汽水，我們可以保證能喝到最多的汽水，最後剩餘的瓶子和瓶蓋也肯定換不了汽水。
然後開始考慮問題複雜在哪裏，在不允許賒賬的情況下，最後可能會剩下瓶子和瓶蓋轉化不成汽水，所以肯定達不到120瓶。
那麼最後會剩幾個瓶子和瓶蓋呢。分類討論下
（1）瓶子數大於等於2或者瓶蓋大於等於3的情況。不可能出現，因爲此時還可以繼續換汽水。
（2）只剩下瓶子或者只剩下瓶蓋的情況。不可能出現，假設按照上述步驟喝，到達最後一步不能再換取新的汽水之前，肯定至少喝完了一瓶汽水，那麼肯定剩下至少一個瓶子喝一個瓶蓋。
（3）1個瓶子，1個瓶蓋。只剩一個瓶子一個瓶蓋，說明在到達最後一步之前的喝汽水的步驟時，我們既沒有瓶蓋也沒有瓶子，只有一瓶汽水。那麼在獲得這一瓶汽水之前的換汽水的步驟裏，肯定只有3個瓶蓋或者2個瓶子，這喝我們的情況2是一樣的，顯然是不可能存在的。所以這一瓶汽水只能是在步驟一中花錢買的，即只有1元錢的時候的情況。 所以當只有1元錢時，我們最終會剩下一個瓶子和瓶蓋，一共價值爲$\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{5}{6}$元。那麼只有$\dfrac{1}{6}$元轉化爲了汽水，也就是隻能喝一瓶。
（4）1個瓶子，2個瓶蓋。 經過上述討論，只剩下了這一種情況，即只要不是1元錢，肯定最後剩下1個瓶子2個瓶蓋，價值爲$\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{3}=\dfrac{7}{6}$元。所以最後相比較可以賒賬的情況，會少買7瓶。
下面寫程序：

#include <stdio.h>
int main(){
int money;
const  int price = 1;
while(1){
	scanf("%d",&money);
	if(money == 1) printf("1\n");
	else printf("%d\n",6 * money - 7);
}
return 0;
}

推廣

假設我們有m元，汽水價格爲p，h個瓶蓋可以換取一瓶汽水，b個瓶子可以換一瓶汽水。那麼可以喝多少瓶汽水呢。
暫時還沒有找到很好的規律，隨着h和b的增大，可能最終的情況多了起來。如果每次輸入都進行更改的話，能想到的還是隻是去模擬買汽水的步驟。類似於第一份代碼，只不過，把hat和body的限制換成輸入。