圖說紅黑樹算法

1. 二叉樹

對於一顆普通的二叉樹來說，查找時候還是蠻有效率的，只要不是極端的情況。例如下面這種滿二叉樹來說，時間複雜度爲O(logn)。

但是呢，有些時候並不是那麼如你所願，例如，從10到1一直插入到一顆二叉樹時，就會出現以下這種情況，查找的時候複雜度實在難受，O(n)

然而對於這種情況的二叉樹，每次插入的時候都只管找位置就坐，可能導致樹的左右不平衡發展了，這，就是懶的結果了。那麼，爲了讓一顆二叉樹保持很好的查詢效率，於是乎就產生了：會自我管理樹的平衡性的二叉樹，稱爲：紅黑樹(Red-Black tree)

2. 什麼是紅黑樹

先來看看一顆標準的紅黑樹是怎麼樣的：

1. 節點只有兩種顏色：紅和黑；
2. 根節點和空葉子節點(nil)都爲黑
3. 如果某個節點爲紅色，它的孩子結果都是黑色
4. 任意一個節點到它的空葉子節點(nil)路徑上包含相同數量的黑色節點，稱之爲黑色高度

###　需要額外注意的是：最長的路徑(路上節點從黑開始黑紅相隔)不能大於２倍的最短路徑(路上節點全是黑)

3. 紅黑樹的操作

1. 查找
2. 插入
3. 刪除

對於插入和刪除兩個操作，有可能會破壞紅黑樹的平衡，使其不滿足紅黑樹的所有屬性。對於破壞平衡的情況，需要對節點進行調整來保持平衡，自我管理能力槓槓的。
那怎麼調整呢？大體思路是：調整子樹來改變樹的結構和修改節點顏色兩個主要操作來保持平衡。同時需要朝兩個目標處理，

1. 降低樹的高度(以防出現一邊倒的情況)
   • 保持最大高度爲O(logn)
   • 大顆的子樹向上移，小顆的子樹向下挪
2. 不影響樹的有序性

修改節點顏色，主要是：紅變黑，或黑變紅。現在主要來看一下，如何調整子樹結構。

3.1逆時針旋轉(左旋轉)和順時針旋轉(右旋轉)

個人覺得，順逆時針會比較好理解，文章以此來描述。旋轉操作是指通過旋轉某個節點，同時來調整子樹的結構，牽一髮而動子樹的效果。舉個逆時針的例子，如下圖

把節點A按逆時針旋轉，步驟是：

1. 把節點A的右孩子，變成它的父節點(P’)
2. 把P’的左孩子變成節點A的右孩子

解析：由於第1步操作完之後，P’可能存在3個子節點，不符合二叉樹的性質，所以需要把其中一個過繼到其它節點上；完成第二步之後，就可以把P’的子節點變成2個了
根據步驟把上面的樹旋轉一下(顏色可以先忽略，主要是講旋轉邏輯)：

好了，逆時針的例子解析完了，對於順時針應該是可以舉一反三了，因爲它們是對稱的，操作的時候把節點的左換成右，右換成左即可。下面把原始圖的結果列一下。

也許聰明的小夥伴可以看到，對於同一個子樹，逆時順和順時針操作完之後，其實就變回去原來的結構了，可以仔細看看上面兩個例子

3.2 插入操作

維護一顆紅黑樹性質不變，當插入或移除節點的時候，如果這個操作破壞了紅黑樹的屬性，則需要把它調整一下。主要步驟有：

1. 插入節點Node, 並且標記爲紅色(改不了字體顏色，算了)
2. 把相關節點調整顏色和旋轉節點來保持紅黑樹的屬性。

敲黑板了，爲什麼要標紅色？因爲：標紅只會破壞紅黑樹的兩條屬性。(往上翻，第2條和第3條)

當插入一個新的節點(Node)時，此時可能有以下4種情況：

1. Node爲根節點
2. Node的叔叔爲紅色
3. Node的叔叔爲黑色(這種情況還細分爲兩種)
   1. Node的爺爺, 父親，和Node自己本身都是一個分支方向繼承下來的，稱之爲直線型關係。如下圖：
   2. Node的爺爺和父親關係方向，與Node和Node父親的關係方向不一樣，稱之爲三角型關係。如下圖：

現在來詳說一下對於以上情況每一種情況的調整步驟，統一定義新插入的節點爲Node：
Case 1: Node爲根節點

• 把Node從紅色標爲黑色即可，這是最簡單的情況

Case 2: Node的叔叔爲紅色

• 把祖上兩輩的節點顏色取反上色，即把爺爺，父親和叔叔節點取反上色。過程圖如下：
  Case 3: Node的叔叔爲黑色(直接型關係)
• 旋轉爺爺節點到另一側(根據當前狀態選擇順逆時針)
• 把Node的原始爺爺節點和父親節點重新上色
  Case 4:Node的叔叔爲黑色(三色型關係)
• 順時針旋轉Node的父節點
  以上就是紅黑樹的基礎內容與插入操作相關情況和步驟。下面我們來用例子演示一下。

4.例子

我們先從簡單的開始吧。模擬插入數據【10, 5, 1】

1. 在一顆空樹上插入一個節點10(符合插入操作的Case 1的情況)
2. 再插入一個節點5，符合正常紅黑樹，不需要處理
3. 再插入一個節點1，破壞規則3(紅色節點的子節點都是黑色)，故需要調整。根據目前狀態選擇調整策略：節點1的叔叔節點爲黑色的空節點，並且是直線型關係，所以採用Case 3處理過程。根據當前狀態，順時針旋轉爺爺節點，然後再把原始的爺爺節點和父親節點的顏色修改一下，於是可以恢復到正常的紅黑樹了。

這個就是簡單的自我調整平衡的二叉樹，亦即是紅黑樹。它的應用場景比較明確，就是有序的map會使用到它，例如C++的map，它是有序的，並且查找時間複雜度爲O(logn)。篇幅有限，刪除操作留待後面再補，因爲實在太長了。感謝你的耐心閱讀，希望能對你有所幫助。