離散數學：異或的基本性質

1 異或定義

異或是一種位運行，數學符號記作 $\oplus$，在程序中記爲 ^，如 $a \oplus b$ 或 a^b。
異或滿足以下運行規則：
$0 \oplus 0 = 0\\ 0 \oplus 1 = 1\\ 1 \oplus 0 = 1\\ 1 \oplus 1 = 0$
可以表示爲下表，其中行和列分別爲兩數。

	1	0
1	0	1
0	1	0

我們可以簡單記憶爲兩數相同時返回0，不相同則返回1。

2 基本性質

設有兩個 $a$ 和 $b$ 邏輯位，它們有以下性質：

1. 交換律：$a \oplus b = b \oplus a$；
   $\because$ 所有四種運算全部滿足條件，$\therefore$ 結論成立。
2. 結合律：$(a \oplus b) \oplus c = a \oplus (b \oplus c)$；
   $a,b,c$ 共有 $2^3=8$ 種取值情況，分別討論發現所有情況都滿足要求，因此結論成立。
3. 不變性：$a \oplus 0=a$；
   當 $a=0$ 時，$0 \oplus 0 = 0$
   當 $a=1$ 時，$1 \oplus 0 = 1$
   注意：$a \oplus 1 = 1$ 不成立。
4. 自毀性：$a \oplus a=0$；
   基本運算原則，相等爲1。根據這個原則，結合保身性，我們很容易等到：$x \oplus x \oplus x = x$，這個結論非常重要，在密碼學中的對稱加密中經常用到。
5. 可替性：若 $a \oplus b = c$，則 $a \oplus c = b$（或 $b \oplus c = a$）；
   證明： $\because a \oplus b = c, \therefore a \oplus c = a \oplus a \oplus b = 0 \oplus b = b$，證畢（同理，可證$b \oplus c = a$）。

3 其他性質研究

計算機系統是基於二進制的存儲系統，最基本的單元是位(bit)，每個位只表示0或1，但是由於存儲的便利，使用的是每8位爲一個單元的字節byte，所以在下面的討論中，都是基於字節的。由於更多的字節都是隻是對單字節的重複， 所以主要以研究單字節爲主。

3.2 基本定義

定義：求1函數 $o = One(b)$，其中 $One$ 表示字節 b 中 1的個數，記爲$O(b)$。定義 $PO(b)=P(O(b))$ 爲 $b$ 超奇偶性，即 $b$ 中1的個數是奇數還是偶數。

幾個函數的範圍情況如下所示。

• O(b)：返回一個字節中1的個數。
  定義域：[0, 256)
  值域：[0, 8]
• P(b)：判斷一個數的奇偶性
  定義域：[0, 256)
  值域：{ODD， EVEN} # 注：分別表示奇數和偶數。
• PO(b)：判斷一個字節的超奇偶性
  定義域：[0, 256)
  值域：{ODD， EVEN}

3.1 $PO(b)$ 超奇偶性性質

定理1：設 $a \oplus b=c$，則 $PO(a) \oplus PO(b) = PO(c)$。
證明：先考慮 $a$ 和 $b$ 只有一位的情況。此時，只有四種基本情況，如第1部分表格所示，這四種情況都成立，所以等式成立。由於各位之間都是獨立的，所以當 $a$ 和 $b$ 爲多位時，等式也成立。

根據這個結論，我們可以知兩個相同的字節的超奇偶性不同時，其異或結果的超奇偶性相同。但是如果兩者超奇偶性相同，則結果的超奇偶性不確定。

舉例來說，若 $b_1$ 和 $b_2$ 爲兩個相同長度的多位二進制數，兩個數中1的總個數爲 $n$，設 $b_1 \oplus b_2 = b_3$ 且 $b_3$ 中的1的個數爲 $m$ 個，那麼 $n$ 與 $m$ 的奇偶性是一樣的。如 $b_1=01010101$，$b_2 = 10101101$，$b_3=11111000$，此時 $n=9, m = 5$ 都是奇數。