通過把原問題分解爲相對簡單的子問題的方式求解複雜問題的方法。動態規劃常常適用於有重疊子問題和最優子結構性質的問題。
特徵:
最優子結構性質:
當問題的最優解包含了其子問題的最優解時,稱該問題具有最優子結構性質。
重疊子問題性質:
在用遞歸算法自頂向下解問題時,每次產生的子問題並不總是新問題,有些子問題被反覆計算多次。動態規劃算法正是利用了這種子問題的重疊性質,對每一個子問題只解一次,而後將其解保存在一個表格中,在以後儘可能多地利用這些子問題的解。
分治與動態規劃
共同點:二者都要求原問題具有最優子結構性質,都是將原問題分而治之,分解成若干個規模較小(小到很容易解決的程序)的子問題.然後將子問題的解合併,形成原問題的解.
不同點:分治法將分解後的子問題看成相互獨立的,通過用遞歸來做。
動態規劃將分解後的子問題理解爲相互間有聯繫,有重疊部分,需要記憶,通常用迭代來做。
遞推關係:
矩陣連乘問題:
#include<iostream>
using namespace std;
const int MAX = 100;
//p用來記錄矩陣的行列,main函數中有說明
//m[i][j]用來記錄第i個矩陣至第j個矩陣的最優解
//s[][]用來記錄從哪裏斷開的纔可得到該最優解
int p[MAX+1],m[MAX][MAX],s[MAX][MAX];
int n;//矩陣個數
void matrixChain(){
for(int i=1;i<=n;i++)m[i][i]=0;
for(int r=2;r<=n;r++)//對角線循環
for(int i=1;i<=n-r+1;i++){//行循環
int j = r+i-1;//列的控制
//找m[i][j]的最小值,先初始化一下,令k=i
m[i][j]=m[i][i]+m[i+1][j]+p[i-1]*p[i]*p[j];
s[i][j]=i;
//k從i+1到j-1循環找m[i][j]的最小值
for(int k = i+1;k<j;k++){
int temp=m[i][k]+m[k+1][j]+p[i-1]*p[k]*p[j];
if(temp<m[i][j]){
m[i][j]=temp;
//s[][]用來記錄在子序列i-j段中,在k位置處
//斷開能得到最優解
s[i][j]=k;
}
}
}
}
//根據s[][]記錄的各個子段的最優解,將其輸出
void traceback(int i,int j){
if(i==j)return ;
traceback(i,s[i][j]);
traceback(s[i][j]+1,j);
cout<<"Multiply A"<<i<<","<<s[i][j]<<"and A"<<s[i][j]+1<<","<<j<<endl;
}
int main(){
cin>>n;
for(int i=0;i<=n;i++)cin>>p[i];
//測試數據可以設爲六個矩陣分別爲
//A1[30*35],A2[35*15],A3[15*5],A4[5*10],A5[10*20],A6[20*25]
//則p[0-6]={30,35,15,5,10,20,25}
//輸入:6 30 35 15 5 10 20 25
matrixChain();
traceback(1,n);
//最終解值爲m[1][n];
cout<<m[1][n]<<endl;
return 0;
}
動態規劃C語言實現之最長公共子序列(LCS) :
遞歸公式如下:
/***最長公共子序列***/
/*動態規劃*/
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<stdlib.h>
#include<ctype.h>
#ifndef size_c
#define size_c 200
#endif // 預定義字符串的長度
#define EQUAL 1 //EQUAL表示c[i][j]是由c[i-1][j-1]+1來的=此時兩個序列有相同的字符
#define UP 2 //UP表示c[i][j]是由c[i-1][j]來的========此時兩個序列沒有相同的字符
#define LEFT 3 //LEFT表示c[i][j]是由[ci][j-1]來的======此時兩個序列沒有相同的字符
//int char1[size_c][size_c]; //定義兩個二維數組存放字符串
//int char2[size_c][size_c]; //1存放位置,2存放路徑
int max(int m, int n, int i, int j);
int print(int i, int j);
/***函數一、判斷LCS長度***/
int Lcs_len(char *str1, char *str2, int **char1, int **char2)
{
//int char1[size_c][size_c] = {0};
//int char2[size_c][size_c] = {0};
int m = strlen(str1);
int n = strlen(str2); //求出兩個數組的邊界長度
int i, j;
for (i = 0; i <= m; i++)
{
char1[i][0] = 0;
}
for (j = 0; j <= n; j++) //初始化邊界條件
{
char1[0][j] = 0;
}
for ( i = 1; i <= m; i++)
{
for ( j = 1; j <= n; j++)
{
if( str1[i-1] == str2[j-1] )
// 這裏使用i-1以及j-1是由於數組的下標從0開始
//另一種實現方式是逆序實現,對於路徑的確定更方便
{
char1[i][j] = char1[i-1][j-1] + 1;
char2[i][j] = EQUAL;
}
else if (char1[i-1][j] >= char1[i][j-1])//在j循環時若字符串不等
{ // 則只用判斷char中的元素
char1[i][j] = char1[i-1][j];
char2[i][j] = UP;
}
else
{
char1[i][j] = char1[i][j-1];
char2[i][j] = LEFT;
}
}
}
return char1[m][n]; //遞歸的最終位存儲的數字就是LCS長度
}
/***函數二、輸出LCS***/
void Print_Lcs( char *str, int **b, int i, int j)
{
if( i == 0 || j == 0)
return; //遞歸至邊界則掃描完畢
if( b[i][j] == EQUAL)
{ //對於相等的元素,其路徑爲左上方對角移動
Print_Lcs(str, b, i - 1, j - 1);
printf("%c ", str[i-1]); //相等的話,原字符序列向前遞歸一位並打印出字符
}
else if ( b[i][j] == UP ) //不相等時判斷方向:向上則數組向上位移
Print_Lcs(str, b, i - 1, j);
else
Print_Lcs(str, b, i , j - 1); //否則數組下標向左位移一位
}
/***函數三、整合LCS函數***/
void Find_Lcs( char *str1, char *str2)
{
int i,j,length;
int len1 = strlen(str1),
len2 = strlen(str2);
//申請二維數組
int **c = (int **)malloc(sizeof(int*) * (len1 + 1));
int **b = (int **)malloc(sizeof(int*) * (len1 + 1));
for( i = 0; i<= len1; i++ ) ////這個等號之前沒加,導致內存泄漏
{
c[i] = (int *)malloc(sizeof(int) * (len2 + 1));
b[i] = (int *)malloc(sizeof(int) * (len2 + 1));
}
//將c[len1][len2]和b[len1][len2]初始化爲0
for ( i = 0; i<= len1; i++)
for( j = 0; j <= len2; j++)
{
c[i][j] = 0;
b[i][j] = 0;
}
//計算LCS的長度
length = Lcs_len(str1, str2, c, b);
printf("The number of the Longest-Common-Subsequence is %d\n", length);
//利用數組b輸出最長子序列
printf("The Longest-Common-Subsequence is: ");
Print_Lcs(str1, b, len1, len2);
printf("\n");
//動態內存釋放
for ( i = 0; i <= len1; i++)
{
free(c[i]);
free(b[i]);
}
free(c);
free(b);
}
/***LCS測試輸出***/
int main(int *argc, int *argv[])
{
char X[size_c],Y[size_c];
int len;
printf("please enter your characters:");
scanf("%s",X);
while(strlen(X) > 200) //規定字符串序列的最大長度,此處爲200
{
printf("what you input is too long, please try again");
scanf("%s\n",X);//超出限制時提醒並重新輸入
}
printf("please enter your characters:");
scanf("%s",Y);
while(strlen(Y) > 200) //長度限制同上
{
printf("what you input is too long, please try again");
scanf("%s",Y);
}
Find_Lcs(X,Y); //使用LCS函數輸出長度與子序列
system("pause");
}
動態規劃法:求解0/1揹包問題:
#include <iostream>
#include<cstdio>
#define N 100
#define MAX(a,b) a < b ? b : a
using namespace std;
struct goods{
int sign;//物品序號
int wight;//物品重量
int value;//物品價值
};
int n,bestValue,cv,cw,C;//物品數量,價值最大,當前價值,當前重量,揹包容量
int X[N],cx[N];//最終存儲狀態,當前存儲狀態
struct goods goods[N];
int KnapSack(int n,struct goods a[],int C,int x[]){
int V[N][10*N];
for(int i = 0; i <= n; i++)//初始化第0列
V[i][0] = 0;
for(int j = 0; j <= C; j++)//初始化第0行
V[0][j] = 0;
for(int i = 1; i <= n; i++)
for(int j = 1; j <= C; j++)
if(j < a[i-1].wight)
V[i][j] = V[i-1][j];
else
V[i][j] = MAX(V[i-1][j],V[i-1][j-a[i-1].wight] + a[i-1].value);
for(int i = n,j = C; i > 0; i--){
if(V[i][j] > V[i-1][j]){
x[i-1] = 1;
j = j - a[i-1].wight;
}
else
x[i-1] = 0;
}
return V[n][C];
}
int main()
{
printf("物品種類n:");
scanf("%d",&n);
printf("揹包容量C:");
scanf("%d",&C);
for(int i = 0; i < n; i++){
printf("物品%d的重量w[%d]及其價值v[%d]:",i+1,i+1,i+1);
scanf("%d%d",&goods[i].wight,&goods[i].value);
}
int sum2 = KnapSack(n,goods,C,X);
printf("動態規劃法求解0/1揹包問題:\nX=[");
for(int i = 0; i < n; i++)
cout<<X[i]<<" ";//輸出所求X[n]矩陣
printf("] 裝入總價值%d\n", sum2);
return 0;
}