cf Educational Codeforces Round 80 C. Two Arrays

原題：

C. Two Arrays

time limit per test
1 second
memory limit per test
256 megabytes
input
standard input
output
standard output

You are given two integers n and m. Calculate the number of pairs of arrays (a,b) such that:the length of both arrays is equal to m;
each element of each array is an integer between 1 and n (inclusive); ai≤bi for any index i from 1 to m; array a is sorted in non-descending order; array b is sorted in non-ascending order.

As the result can be very large, you should print it modulo 10^9+7

.
Input

The only line contains two integers n
and m (1≤n≤1000, 1≤m≤10).
Output

Print one integer – the number of arrays a
and b satisfying the conditions described above modulo 109+7

.
Examples
Input

2 2

Output

5

Input

10 1

Output

55

Input

723 9

Output

157557417

Note

In the first test there are 5

suitable arrays:

a=[1,1],b=[2,2];
a=[1,2],b=[2,2];
a=[2,2],b=[2,2];
a=[1,1],b=[2,1];
a=[1,1],b=[1,1].

中文：

給你兩個數,n和m，現在讓你構造一個序列對，兩個序列對的長度都是m，兩個序列中的數字都是都是[1,n]，兩個序列中對應下標的數要滿足$a_i ≤ b_i$，且a序列是非遞減的，b序列是非遞增的，問你這樣的序列對的個數。序列對數量的結果對1e9 +7 取模。

代碼：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
 
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> pii;
 
const int maxn = 1005;
const int maxm = 15;
const ll mod = 1e9 + 7;
 
int n,m;
 
 
int a[maxn][maxm],b[maxn][maxm];
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    while(cin>>n>>m)
    {
        memset(a,0,sizeof(a));
        memset(b,0,sizeof(b));
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            a[i][1]=b[i][1]=1;
        }
        for(int i=1;i<=m;i++)
        {
            b[n][i]=1;
        }
 
 
        for(int i=1;i<=n;i++)//num
        {
            for(int j=2;j<=m;j++)//len
            {
                for(int t=1;t<=i;t++)
                {
                    a[i][j] =  ((a[i][j]%mod) + (a[t][j-1]%mod))%mod;
 
                }
            }
        }
        /*
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            for(int j=1;j<=m;j++)
                cout<<a[i][j]<<" ";
            cout<<endl;
        }
        */
        for(int i=n-1;i>=1;i--)//num
        {
            for(int j=2;j<=m;j++)//len
            {
                for(int t=i;t<=n;t++)
                {
                    b[i][j] =  ((b[i][j]%mod) + (b[t][j-1]%mod))%mod;
 
                }
            }
        }
        int ans = 0;
        for(int i = 1;i<=n;i++)
        {
            for(int j=i;j<=n;j++)
            {
                ans = ((ans% mod) + (a[i][m]%mod * b[j][m]%mod))%mod;
            }
 
        }
        cout<<ans<<endl;
    }
    return 0;
}

解答：

這題紙上畫一畫很容易想出遞推方程，因爲序列a是非遞減的，序列b是非遞增的，而且又要滿足$a_i ≤ b_i$這樣的條件，那麼
設置狀態方程
$a[i][j]$表示序列長度爲j，且序列以i作爲結尾的時候，可以形成的非遞減序列的個數。那麼遞推方程可以寫成如下

$a[i][j] = p = \sum\limits_{t=1}^ia[t][j-1]$

同理，設置$b[i][j]$表示序列長度爲j，且序列以i作爲結尾的時候，可以形成非遞減序列的個數。

$b[i][j] = p = \sum\limits_{t=i}^nb[t][j-1]$

最後結果可以表示爲對所有$a[i][m] * b[j][m]$和，其中要求$j>=i$