通信原理（第七版）常見公式

通信原理（第七版）知識點複習
（1）《通信原理》期末總結——Sunnycee’s Blog
https://sunnycee.cn/archives/2e834616.html
（2）通信原理複習——Pang-Blog
https://pangyuworld.github.io/2019/12/19/%E9%80%9A%E4%BF%A1%E5%8E%9F%E7%90%86%E5%A4%8D%E4%B9%A0/

常用公式總結

第 1 章 緒論

1.4 信息及其度量

1.4.1 離散信源

$I : 消息中所含信息量，(b)$
$M : 進制$
$P(x) : 消息出現的概率$
$H(x) : 平均信息量（熵），(b/符號)$

$I=\log_{a}\frac{1}{P(x)}=-\log_{a}P(x)\quad(b)$

$(1) 等概率$
$I=\log_{2}\frac{1}{P}=\log_2\frac{1}{1/M}=\log_{2}M\quad(b)$

$(2) 非等概率$
$H(x)=-\sum_{i=1}^{M}P(x_i)\log_{2}{P(x_i)}\quad(b/符號)$

1.4.2 連續信源

$f(x) : 連續消息出現的概率密度$

$H(x)=-\int_{-\infin}^{+\infin}f(x)\log_{a}f(x)dx\quad(b/符號)$

1.5 通信原理主要性能指標

1.5.1 有效性

$M : 進制$
$B : 頻帶帶寬，(Hz)$
$\eta : 頻帶利用率，(Baud/Hz)$
$\eta_b : M 進制頻帶利用率，(b/(s\cdot{Hz})$
$R_{B} : 單位時間傳輸碼元的數目，碼元傳輸速率，波特率，(Baud)$
$R_{b} : 單位時間傳輸平均信息量，信息傳輸速率，比特率，(b/s)$
$T_{B} : 每個碼元的長度，(s)$
$T_{b} : 每個二進制碼元的持續時間，(s)$

$\eta=\frac{R_{B}}{B}\quad(Baud/Hz)$

$\eta_b=\frac{R_{b}}{B}\quad(b/(s\cdot{Hz}))$

$R_{B}=\frac{1}{T_{B}}\quad(Baud)$

$R_{b}=R_{B}{\log_{2}{M}}\quad(b/s)$

$T_{B}=T_{b}\cdot{\log_{2}{M}}$

1.5.2 可靠性

$P_{e} : 誤碼率$
$P_{b} : 誤信率$

$P_{e}=\frac{錯誤碼元數}{傳輸總碼元數}$

$P_{b}=\frac{錯誤比特數}{傳輸總比特數}$

第 4 章 信道

4.1 無線信道

	頻率	特性	距離	用途
地波	<2MHz	有繞射能力	數百或數千米	AM廣播
天波	2~30MHz	被電離層反射	< 4000 km（一跳）	遠程、短波通信
視線	>30MHz	直線傳播、穿透電離層	與天線高度有關	衛星和外太空通信超短波及微波通信

$h : 收發天線的高度，(m)$
$r : 地球的等效半徑，(km)$
$D : 收發天線的距離，(km)$

$h=\frac{D^2}{8r}\approx\frac{D^2}{50}\quad(m)$

4.2 編碼信道模型

$P(x/y) : 發送 y 接收 x 的概率$

4.4 信道特性對信號傳輸的影響

$\tau_{m} : 多徑中最大的相對時延差，(s)$
$\Delta{f} : 信道相關帶寬，(Hz)$
$B_{s} : 信號帶寬，(Hz)$

$\Delta{f}=\frac{1}{\tau_{m}}\quad(Hz)$

$R_{B}=B_{s}=(1/3 \sim 1/5)\Delta{f}\quad(Hz)$

4.6 信道容量

4.6.1 離散信道容量

$C : 每個符號能夠傳輸的平均信息量的最大值，(b/符號)$
$C_{t} : 單位時間內能傳輸的平均信息量最大值，(b/s)$
$P(x_i) : 接收端接收x_i（包括正確和錯誤）$
$P(x_i/y_j) : 發送端發送y_j，接收端接收x_i$
$r : 單位時間內信道傳輸的符號數，(符號/s)$
$R : 信道每秒傳輸的平均信息量，(b/s)$

$\begin{aligned} 平均信息量/符號&=-\sum_{i=1}^{n}P(x_i)\log_{2}P(x_i)-\left[-\sum_{j=1}^{m}P(y_j)\sum_{i=1}^{n}P(x_i/y_j)\log_{2}P(x_i/y_j)\right]\\ &=H(x)-H(x/y) \end{aligned}$

$\begin{aligned} C&=\max_{P(x)}\left[H(x)-H(x/y)\right]\\ R&=r\left[H(x)-H(x/y)\right]\\ C_{t}&=\max_{P(x)}\{r\left[H(x)-H(x/y)\right]\} \end{aligned}$

4.6.2 連續信道容量

$B : 頻帶帶寬，(Hz)$
$S : 信號平均功率，(W)$
$N : 噪聲功率，(W)$
$n_{0} : 噪聲單邊功率譜密度，(W/Hz)$

$C_{t}=B\log_{2}\left(1+\frac{S}{N}\right)\quad(b/s)$

$C_{t}=B\log_{2}\left(1+\frac{S}{n_{0}B}\right)\quad(b/s)$

$\lim_{B\to\infin}C_{t}\approx{1.44\frac{S}{n_0}}$

第 5 章 模擬調製系統

5.1 幅度調製（線性調製）原理

$A : 載波振幅$
$\omega : 載波角頻率$
$\varphi_{0} : 載波初始相位$

$\begin{aligned} c(t)&=A\cos(\omega_{c}t+\varphi)\\ c(t)&=A\cos(\omega_{c}t)\qquad(\varphi_{0}=0) \end{aligned}$

$\begin{aligned} \cos^2\theta&=\frac{1}{2}(1+\cos2\theta)\\ \sin2\theta&=2\sin\theta\cos\theta \end{aligned}$

5.1.1 調幅調製 AM（Amplitude Modulation）

$\begin{aligned} S_{AM}(t)&=\left[A_{0}+m(t)\cos\omega_{c}t\right]\\ &=A_{0}\cos\omega_{c}t+m(t)\cos\omega_{c}t \end{aligned}$

$S_{AM}(\omega)=\pi A_{0}\left[\delta(\omega+\omega_c)+\delta(\omega-\omega_c)\right]+\frac{1}{2}\left[M(\omega+\omega_c)+M(\omega-\omega_c)\right]$

$\left|m(t)\right|_{max} \leq A_0\qquad(防止過調幅)$

$f_{H} : 基帶信號帶寬，(Hz)$
$B_{AM} : AM調製信號帶寬，(Hz)$
$P_{AM} : AM信號在 1\Omega 電阻上的平均功率$
$P_{c} : 載波功率$
$P_{s} : 邊帶功率$
$m : 調幅係數$
$\eta_{AM} : 調製效率$

$\begin{aligned} P_{AM}&=\overline{s_{AM}^2(t)}=\overline{[A_0+m(t)]^2\cos^2\omega_{c}t}\\ &=\overline{A_0^2\cos^2\omega_{c}t}+\overline{m^2(t)\cos^2\omega_{c}t}+\overline{2A_0m(t)\cos^2\omega_{c}t}\\ &=\frac{A_0^2}{2}+\frac{\overline{m^2(t)}}{2}\qquad(\overline{m(t)}=0)\\ &=P_c+P_s \end{aligned}$

$\begin{aligned} P_c&=\frac{A_0^2}{2}\\ P_s&=\frac{\overline{m^2(t)}}{2} \end{aligned}$

$\begin{aligned} \eta_{AM}&=\frac{P_s}{P_{AM}}=\frac{\overline{m^2(t)}}{A_0^2+\overline{m^2(t)}}\\ &=\frac{1}{2}\qquad(|m(t)|_{max} \leq A_0)\\ &=\frac{1}{3}\qquad(單音正弦: m(t)=A_m\cos\omega_{m}t) \end{aligned}$

$m=\frac{|m(t)|_{max}}{A_{0}}$

$B_{AM}=2f_H$

5.1.2 抑制載波雙邊帶調製 DSB-SC（Double-Side-Band Suppressed Carrier）

$S_{DSB}(t)=m(t)\cos\omega_{c}t\qquad(抑制載波)$

$S_{DSB}(\omega)=\frac{1}{2}\left[M(\omega+\omega_c)+M(\omega-\omega_c)\right]$

$B_{DSB}=B_{AM}=2f_H$

$\eta=100\%$

5.1.3 單邊帶調製 SSB（Single-Side-Band）

(1) 濾波法
$H(\omega) : 傳輸函數$

$\begin{aligned} H(\omega)&=H_{USB}(\omega)= \left\{ \begin{aligned} 1 \qquad |\omega|>\omega_{c} \\ 0 \qquad |\omega|\leq\omega_{c} \end{aligned} \right.\\ H(\omega)&=H_{LSB}(\omega)= \left\{ \begin{aligned} 1 \qquad |\omega|<\omega_{c} \\ 0 \qquad |\omega|\geq\omega_{c} \end{aligned} \right.\\ S_{SSB}&=S_{DSB}(\omega) \cdot H(\omega) \end{aligned}$

(2) 相移法

$\begin{aligned} m(t)&=A_{m}\cos\omega_{m}t\\ c(t)&=\cos\omega_{c}t\\ A_{m}\sin\omega_{m}t&=A_{m}\hat{\cos}\omega_{m}t \qquad(希爾伯特變換)\\ S_{SSB}&=m(t) \cdot c(t)\\ &=\frac{1}{2}m(t)\cos\omega_{c}t \mp \frac{1}{2}\hat{m(t)}\sin\omega_{c}t \end{aligned}$

$B_{SSB}=\frac{B_{DSB}}{2}=f_H$

5.1.4 殘留單邊帶調製 VSB（Vestigial-Side-Band）

$\omega_{H} : 調製信號截止頻率$

$H(\omega+\omega_{c})+H(\omega-\omega_{c})=常數 \qquad |\omega| \leq \omega_{H}$

5.2 線性調製系統的抗噪性能

$n_{i}(t) : 平穩窄帶高斯噪聲$
$n_{c}(t) : 窄帶噪聲同向分量$
$n_{s}(t) : 窄帶噪聲正交分量$
$S_{i} : 輸入已調信號的平均功率$
$N_{i} : 輸入噪聲的平均功率$
$S_{o} : 輸出有用信號的平均功率$
$N_{o} : 輸入噪聲的平均功率$
$G : 調製制度增益（信噪比增益）$

$\begin{aligned} n_{i}(t)&=n_{c}\cos\omega_{0}t-n_{s}\sin\omega_{0}t\\ \overline{n_{i}^{2}(t)}&=\overline{n_{c}^{2}(t)}=\overline{n_{s}^{2}(t)}=N_{i}\\ N_{i}&=n_{o}B \qquad(單邊譜密度n_{o}，帶通濾波器高度1，帶寬B) \end{aligned}$

$\begin{aligned} \frac{S_{i}}{N_{i}}&=\frac{\overline{s_{m}^{2}(t)}}{\overline{n_{i}^{2}(t)}}\\ \frac{S_{o}}{N_{o}}&=\frac{\overline{m_{o}^{2}(t)}}{\overline{n_{o}^{2}(t)}}\\ G&=\frac{S_{o}/N_{o}}{S_{i}/N_{i}} \end{aligned}$

重要三角變換公式
$\begin{aligned} \cos^2\theta&=\frac{1}{2}(1+\cos2\theta)\\ \sin2\theta&=2\sin\theta\cos\theta \end{aligned}$

5.2.2 DSB調製系統性能（抑制正交分量）

$\begin{aligned} s_{m}(t)&=m(t)\cos\omega_{c}t\\ m_{o}(t)&=s_{m}(t)\cos\omega_{c}t=m(t)\cos\omega_{c}t\cos\omega_{c}t\\ n_{o}(t)&=n_{i}\cos\omega_{c}t \end{aligned}$

$\begin{aligned} S_{i}&=\overline{s_{m}^2(t)}=\frac{1}{2}\overline{m^2(t)}\\ N_{i}&=\overline{n_{i}^2}=n_{0}B\\ S_{o}&=\overline{m_{o}^2(t)}=\frac{1}{4}\overline{m^2(t)}\\ N_{o}&=\overline{n_{o}^2}=\frac{1}{4}N_{i}\\ G_{DSB}&=\frac{S_{o}/N_{o}}{S_{i}/N_{i}}=2 \end{aligned}$

5.2.3 SSB調製系統性能（抑制正交分量）

$\begin{aligned} s_{m}(t)&=\frac{1}{2}m(t)\cos\omega_{c}t \mp \frac{1}{2}\hat{m(t)}\sin\omega_{c}t\\ m_{o}(t)&=s_{m}(t)\cos\omega_{c}t\\ n_{o}(t)&=n_{i}\cos\omega_{c}t \end{aligned}$

$\begin{aligned} S_{i}&=\overline{s_{m}^2(t)}=\frac{1}{4}\overline{m^2(t)}\\ N_{i}&=\overline{n_{i}^2}=n_{0}B\\ S_{o}&=\overline{m_{o}^2(t)}=\frac{1}{16}\overline{m^2(t)}\\ N_{o}&=\overline{n_{o}^2}=\frac{1}{4}N_{i}\\ G_{SSB}&=\frac{S_{o}/N_{o}}{S_{i}/N_{i}}=1 \end{aligned}$

5.2.4 AM 包絡波的性能

$\begin{aligned} s_{m}(t)&=\left[A_{0}+m(t)\right]\cos\omega_{c}t\\ S_{i}&=\overline{s_{m}^2(t)}=\frac{A_{0}^2}{2}+\frac{\overline{m^2(t)}}{2}\\ N_{i}&=\overline{n_{i}^2}=n_{0}B \end{aligned}$

$\begin{aligned} s_{m}(t)+n_{i}(t)&=E(t)\cos\left[\omega_{c}t+\psi(t)\right]\\ E(t)&=\sqrt{\left[A_{0}+m(t)+n_{c}(t)\right]^2+n_{s}^2(t)}\\ \psi&=\arctan\left[\frac{n_{s}(t)}{A_{0}+m(t)+n_{c}(t)}\right] \end{aligned}$

(1) 大信噪比情況

$\begin{aligned} S_{o}&=\overline{m^2(t)}\\ N_{o}&=\overline{n_{c}^{2}(t)}=\overline{n_{i}^{2}(t)}=n_{0}B\\ G_{AM}&=\frac{S_{o}/N_{o}}{S_{i}/N_{i}}=\frac{2\overline{m^2(t)}}{A_0^2+\overline{m^2(t)}}\\ &=\frac{2}{3}\qquad(單頻正弦) \end{aligned}$

(2) 小信噪比情況（門限效應）

5.3 非線性調製（角度調製）原理

$PM : 相位調製$
$FM : 頻率調製$
$\varphi(t) : 相對於載波相位\omega_{c}(t)的瞬時相位偏移$

$\begin{aligned} s_{m}(t)&=A\cos[\omega_{c}t+\varphi(t)]\\ \varphi(t)&=K_{p}m(t)\\ s_{PM}(t)&=A\cos[\omega_{c}t+K_{p}m(t)]\\ \frac{d\varphi(t)}{dt}&=K_{f}m(t)\\ s_{FM}(t)&=A\cos[\omega_{c}t+K_{f}\int{m(\tau)d\tau}] \end{aligned}$

$m_{p} : 調相指數，最大的相位偏移$
$m_{f} : 調頻指數，最大的相位偏移$
$\Delta\omega : 最大角頻偏$
$\Delta f : 最大頻偏$

$\begin{aligned} m_t&=A_{m}\cos\omega_{m}t=A_{m}\cos2\pi f_{m}t\\ s_{PM}t&=A\cos[\omega_{c}t+K_{p}A_{m}\cos\omega_{m}t]\\ &=A\cos[\omega_{c}t+m_{p}\cos\omega_{m}t]\\ m_{p}&=K_{p}A_{m}\\ s_{FM}t&=A\cos\left[\omega_{c}t+K_{f}A_{m}\int{\cos\omega_{m}\tau d\tau}\right]\\ &=A\cos[\omega_{c}t+m_{f}\sin\omega_{m}t]\\ m_{f}&=\frac{K_{f}A_{m}}{\omega_{m}}=\frac{\Delta\omega}{\omega_{m}}=\frac{\Delta f}{f_{m}} \end{aligned}$

5.3.2 窄帶調頻/寬帶調頻

(1) 基本信息

$\left\{ \begin{aligned} &K_{f}\int{m(\tau)d\tau} \ll \frac{\pi}{6} \quad or \quad 0.5 \qquad &(NBFM)\\ &不滿足上述條件 &(WBFM) \end{aligned} \right.$

$\begin{aligned} B_{FM}&=2(m_{f}+1)f_{m}=2(\Delta f+f_{m})\\ &\approx 2f_{m} \qquad (m_{f} \ll 1 \quad NBFM)\\ &\approx 2\Delta f \qquad (m_{f} \gg 1 \quad WBFM) \end{aligned}$

(2) 阿姆斯特朗法

$\begin{aligned} f_{c}&=n_{2}(n_{1}f_{1}-f_{2})\\ \Delta f&=n_{1}n_{2}\Delta f_{1} \end{aligned}$

5.4 調頻系統抗噪性能分析

$G_{FM}=\frac{3}{2}m_{f}^2\left(\frac{B_{FM}}{f_{m}}\right)$

5.5 各種模擬調製的比較

調製方式	傳輸帶寬	輸出信噪比	制度增益	設備複雜程度
AM	$2f_{m}$	$\left(\frac{S_{o}}{N_{o}}\right)_{AM}=\frac{1}{3}\left(\frac{S_{i}}{n_{0}f_{m}}\right)$	2/3	簡單
DSB	$2f_{m}$	$\left(\frac{S_{o}}{N_{o}}\right)_{DSB}=\left(\frac{S_{i}}{n_{0}f_{m}}\right)$	2	中等
SSB	$f_{m}$	$\left(\frac{S_{o}}{N_{o}}\right)_{SSB}=\left(\frac{S_{i}}{n_{0}f_{m}}\right)$	1	複雜
VSB	$>\approx f_{m}$	$\approx SSB$	$\approx SSB$	複雜
FM	$2(m_{f}+1)f_{m}$	$\left(\frac{S_{o}}{N_{o}}\right)_{FM}=\frac{3}{2}m_{f}^2\left(\frac{S_{i}}{n_{0}f_{m}}\right)$	$3m_{f}^2(m_{f}+1)$	中等

第 6 章 數字基帶傳輸系統

6.1.1 數字基帶信號

(a) 單極性波形
$1 \to +E$
$0 \to 0$

(b) 雙極性波形
$1 \to +E$
$0 \to -E$

© 單極性歸零波形（RZ）
$1 \to +E$（提前歸零，佔空比一般 50%）
$0 \to 0$

(d) 雙極性歸零波形（RZ）
$1 \to +E$（提前歸零，佔空比一般 50%）
$0 \to -E$（提前歸零，佔空比一般 50%）

(e) 差分波形
有跳錶示“1”，無跳錶示“0”

(f) 多電平波形

6.2.2 常用傳輸碼型

(1) AMI 碼
$0 \to 0$
$1 \to -1/+1（交替出現，一般從-1開始）$

(2) $HDB_{3} 碼$
$0 \to 0$
$1 \to -1/+1（交替出現，一般從-1開始）$
$[1]滿足前一個相鄰的非“0”脈衝極性相同，且滿足前一個相鄰的“V”碼極性交替：0000 \to 000\mp V（相鄰“V”碼之間有奇數個1）$
$[2]否則：0000 \to \mp B00\mp V（相鄰“V”碼之間有偶數個1）$

(3) 雙相碼（雙極性NRZ波形）
$1 \to 10$
$0 \to 01$

(4) 差分雙相碼
有跳錶示“1”，無跳錶示“0”

(5) CMI 碼
$1 \to 11/00（交替出現）$
$0 \to 01$

(6) 塊編碼

6.3 數字基帶傳輸與碼間串擾

$G_{T}(\omega) : 發送濾波器的傳輸特性$
$C(\omega) : 信道的傳輸特性$
$G_{R}(\omega) : 接受濾波器的傳輸特性$
$H(\omega) : 基帶傳輸系統的總傳輸特性$

$H(\omega)=G_{T}(\omega)C(\omega)G_{R}(\omega)$

6.4 無碼間串擾的基帶傳輸特性

6.4.3 無碼間串擾傳輸特性設計

(1) 理想低通特性
實現抽樣時，僅僅只有基帶系統有值，而其他系統剛好處於零點，實現無碼間串擾

$f_{N} : 奈奎斯特帶寬$

$\begin{aligned} f_{N}&=B=\frac{1}{2T_{B}} \qquad (Hz)\\ R_{B}&=\frac{1}{T_{B}}=2f_{N} \qquad (Baud)\\ \eta&=\frac{R_{B}}{B}=2 \qquad (Baud/Hz) \end{aligned}$

(2) 餘弦滾降特性
理想低通特性以奈奎斯特帶寬$f_{N}$爲中心，按奇對稱條件進行餘弦滾降

$\alpha : 餘弦滾降係數$

$\begin{aligned} \alpha&=\frac{f_{\Delta}}{f_{N}}\\ R_{B}&=2f_{N}\\ B&=f_{\Delta}+f_{N}=(1+\alpha)f_{N}\\ \eta&=\frac{R_{B}}{B}=\frac{2}{1+\alpha} \qquad (Baun/Hz) \end{aligned}$

第 7 章 數字帶通傳輸系統

7.1 二進制數字調製原理

7.1.1 二進制振幅鍵控（2ASK）

$e_{2ASK}=\left\{ \begin{aligned} &A\cos\omega_{c}t \qquad &1 \quad &(P)\\ &0 \qquad &0 \quad &(1-P) \end{aligned} \right.$

7.1.2 二進制頻移鍵控（2FSK）

$e_{2FSK}=\left\{ \begin{aligned} &A\cos(\omega_{1}t+\varphi_{n}) \qquad &1\\ &A\cos(\omega_{2}t+\theta_{n}) \qquad &0 \end{aligned} \right.$

7.1.3 二進制相移鍵控（2PSK）

$e_{2PSK}=\left\{ \begin{aligned} &A\cos\omega_{c}t \qquad &1\\ &-A\cos\omega_{c}t \qquad &0 \end{aligned} \right.$

7.1.4 二進制差分相移鍵控（2DPSK）
計算出相對碼，推算得到相位差，後面圖形在前面圖形移動對應相位

$a_{n} : 絕對碼$
$b_{n} : 相對碼$

$b_{n}=a_{n} \bigoplus b_{n-1}$

$\begin{aligned} e_{2DPSK}&=A\cos(\omega_{c}t+\Delta\varphi)\\ \Delta\varphi&=\left\{ \begin{aligned} &\pi \qquad &1\\ &0 \qquad &0 \end{aligned} \right. \end{aligned}$

7.3 二進制數字調製系統的性能比較

7.3.1 誤碼率

	相干解調	非相干解調
2ASK	$\frac{1}{2}erfc\left(\sqrt{\frac{r}{4}}\right)$	$\frac{1}{2}e^{-r/4}$
2FSK	$\frac{1}{2}erfc\left(\sqrt{\frac{r}{2}}\right)$	$\frac{1}{2}e^{-r/2}$
2PSK	$\frac{1}{2}erfc\left(\sqrt{r}\right)$
2DPSK	$erfc\left(\sqrt{r}\right)$	$\frac{1}{2}e^{-r}$

7.3.2 帶寬與頻帶利用率

$當信號帶寬爲T_{B}$

	$帶寬B$
2ASK	$2R_{B}=\frac{2}{T_{B}}$
2FSK	$\mid f_{2}-f_{1} \mid+2R_{B}$
2PSK	$2R_{B}=\frac{2}{T_{B}}$
2DPSK	$2R_{B}=\frac{2}{T_{B}}$