模長，方向餘弦，方向角、單位向量和方向導數的計算

設已知兩點 $M_1(5, \sqrt{2}, 2), M_2(4, 0, 3)$ ，計算向量$\overrightarrow{M_1M_2}$

1. 模長
   $\overrightarrow{M_1M_2}=\overrightarrow{M_2}-\overrightarrow{M_1}=(-1, -\sqrt{2}, 1) \\ |\overrightarrow{M_1M_2}|=\sqrt{(-1)^2 + (-\sqrt{2})^2 + 1^2} = 2$
2. 方向餘弦
   $cos\alpha = \frac{x}{|\overrightarrow{M_1M_2}|} = \frac{-1}{2} = - \frac{1}{2} \\ cos\beta = \frac{y}{|\overrightarrow{M_1M_2}|} = \frac{-\sqrt{2}}{2} = - \frac{\sqrt{2}}{2} \\ cos\gamma = \frac{x}{|\overrightarrow{M_1M_2}|} = \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \\$
   其中：
   $(cos\alpha)^2 + (cos\beta)^2 + (cos\gamma)^2 = 1$
3. 方向角
   $\alpha = \frac{2\pi}{3}, \beta = \frac{3\pi}{4}, \gamma = \frac{\pi}{3}\\$
4. 方向一致的單位向量
   $\frac{\overrightarrow{M_1M_2}}{|\overrightarrow{M_1M_2}|} = \frac{(-1, -\sqrt{2}, 1)}{2} = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{2}) \\$
5. 設$f(x, y, z) = x + y^2 + z^3$，求 $f$ 在點 $P_0(1, 1, 1)$ 沿方向 $\overrightarrow{M_1M_2}$ 的方向導數。
   解：易見 $f$ 在 $P_0(1, 1, 1)$ 可微，所以：
   $f_x(P_0) = 1, f_y(P_0) = 2, f_z(P_0) = 3 \\$
   根據 2. 方向餘弦，因此方向導數 $f_{\overrightarrow{M_1M_2}}$：
   $f_{\overrightarrow{M_1M_2}}(P_0) = f_x(P_0) · cos\alpha + f_y(P_0) · cos\beta+ f_z(P_0) · cos\gamma \\ = 1 *( - \frac{1}{2}) + 2 * (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + 3 * \frac{1}{2}$