最長不下降子序列LIS

最長不下降子序列問題

最長上升子序列問題是解決很多問題的根本，它能幫助你理解二分的思想。

引言

考慮一下:對於一個序列 $n$ ,請你查找$n$中最長的子序列$a$,使得任意 $i<j$ 時 $a[i]<=a[i]$.

例如一個長度爲$5$的$n$=$5$ $3$ $1$ $2$ $4$;
顯然,它的最長不下降子序列就是 $1$ $2$ $4$.
我們可以想一下自己是如何看出它的最長不下降子序列的.
首先,第一個數是$5$,前面沒有數,所以它可以是子序列的一部分,那麼我們可以將它放到考慮的第一位:
$5$ ? ? ? ?
因爲放了一個數,所以答案要加一:
$ans=1$
第二個數是$3$,有兩種選擇,一種是插入到剛插入的數的後面,第二種就是替換掉$5$.因爲$5>3$,所以$3$不可以放到$5$的後面去.$5$比$3$大還在答案中,那我要你$5$有什麼用?果斷替換:
$3$ ? ? ? ?
$ans=1$
第三個數是$1$,與$3$同理,替換:
$1$ ? ? ? ?
$ans=1$
第四個數是$2$,比剛插入的數小,可以插入,那麼就變爲:
$1$ $2$ ? ? ?
$ans=2$
第五個數同理插入：
$1$ $2$ $4$ ? ?
$ans=3$
至此,我們的大腦$(?)$處理完了這樣一個長度爲$5$的最長不下降子序列,當長度很小時我們能順利解決,剩下的就交給計算機啦.

二分求解

在我們模擬的時候,有這樣一個操作,當新讀入的數字小於答案數列的第$ans$個數的時候,我們需要找到要用讀入數字替換掉的位置.這個時候,選擇從第$1$個數挨個比對到第$ans$個數就很睿智 ,於是我們選擇二分求解.
看這樣一個序列:
$1$ $2$ $4$ $6$ $8$ $10$
假設新讀入的數是3.
那麼我們取這個元素個數爲$6$的序列的中間數: $4$
$4$比$3$大,而這個序列是單調遞增的,要替換的位置一定在左側.我們取左側的序列.
$1$ $2$ $4$
中間數爲$2$, $2<3$,那麼我們取右側的序列
$4$
可以判斷,序列中只有一個元素,要替換的數就決定是它啦!
這樣子尋找就省去了$O(N)$的複雜度轉爲$O$$($$log$_n$)$了,爲我們節省了很多時間.
代碼實現

#include <cstdio>
#include <iostream>
#define maxn 100001
#define minn -99999
using namespace std;
int n,a[maxn],f[maxn],ans;//f數組就相當於上面的答案數組,a數組存的是數的值.
int main(){
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d",&a[i]);
    }
    f[0]=minn;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(a[i]>f[ans]){//直接向答案序列後加數
            f[ans+1]=a[i];
            ans++;
        }
        else{
            int l=0,r=ans;
            while(l<r){
                int mid=(l+r)>>1;
                if(f[mid]>a[i]){
                    r=mid;//如果中間數比要加的數大,那麼就要取左側序列
                }
                else{
                    l=mid+1;//如果中間數比要加的數小,那麼就要取右側序列
                }
            }
            f[l]=a[i];//最後替換
        }
    }
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
}

更簡潔的寫法

你可能會問了:有沒有更簡潔的寫法來實現這樣高效的二分呢?答案是有的.在我們的c++ STL庫中就有這樣的函數,來幫助我們實現查找.
在< algorithm > 庫中,有個叫lower_bound的函數,先看他的函數定義:

template< class ForwardIt, class T >
ForwardIt lower_bound( ForwardIt first, ForwardIt last, const T& value );

它的功能是:
返回指向範圍 [first, last) 中首個不小於（即大於或等於） value 的元素的迭代器，或若找不到這種元素則返回 last 。

如果想了解更多關於lower_bound的嚴格說明,請點擊傳送門
那麼我們有了這個工具之後就可以這樣改進我們的程序,讓它更簡潔.

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#define maxn 100001
using namespace std;
int n,a[maxn],f[maxn],ans;
int main(){
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%d",&a[i]);
    }
    memset(f,10000,sizeof f);//要初始化的大,後面的比較就不會因爲值爲0出錯
    f[0]=-1;//vis[0]除外,它要設爲-1
    for(int i=1;i<=n;i++){
        int v=lower_bound(f,f+1+ans,a[i])-f;//在1到ans的區間中尋找第一個比a[i]大的.
        ans=max(ans,v);//更新答案
        f[v]=min(f[v],a[i]);//替換掉比a[i]大的
    }
    printf("%d\n",ans);
    return 0;
} 
 

這樣就將二分的過程運用STL函數省去了,提高了我們的編程效率.