最先听说动态规划还是在研究生的最优控制课上，课上介绍了用动态规划解决最优问题。其实动态规划（dynamic programming/DP）和分治方法类似，都是通过组合子问题来求解原问题。不过动态规划应用于问题重叠的情况，即不同的子问题具有公共的子子问题，每个子问题只求一次，而不必重新计算。
就我个人的理解：动态规划就是将所求的问题分步，每一步的最优解是由当前解和之前的最优解组成。求到最后，也就求出了问题的一个最优解，因为可会有多个最优解的情况。
应用DP的步骤：
1.刻画一个最优解的结构特征
2.递归地定义最优值的解
3.计算最优值的解，通常采用自顶向上的方法
4.利用计算出的信息构造一个最优解
一.斐波那契数列问题
运用动态规划解决的问题需要包括最优子结构或重叠子问题。下面就来举一个最常见的用到DP的问题----- Fibonacci数列。
斐波那契数列问题，求F(n)的输出，这是一个最常见的问题，一般是运用递归来做，代码如下：
public static int Fibonacci(int n){
if(n==1 | n==0)
return 1;
return Fibonacci(n-1)+Fibonacci(n-2);
}F(4)=F(3)+F(2);
F(3)=F(2)+F(1);
F(2)=F(1)+F(0);
这里的F(2)和F(1)都求了两遍，这里重复求解，使得效率变低。可以使用动态规划，因为这个问题具有重叠子问题。我们可以将之前求出的F(n)放在数组中，而不用再去求它。定义一个数组F(n)，用它来存储每个斐波那契的值。代码如下： 用数组存储以求得的子问题，用空间换时间。
public static int Fibonacci(int n){
int[] F=new int[n+1];
F[0]=1;
F[1]=1;
for(int i=2;i<=n;i++)
{
F[i]=F[i-1]+F[i-2];
}
return F[n];
}DP还用来解决如揹包问题，问题描述：给定n种物品和一揹包，物品i的重量是wi，其价值是pi，揹包的容量是M，问如何选择装入揹包中的物品总价值最大？这就是一个最优问题的求解。这里如何求解读者可以自行思考，下面给出更常见到的算法问题。
二.最长递增子序列--LIS
问题描述：有一个长为n的数列a0,a1,a2........a(n-1)。请求出这个序列中最长的单增子序列的长度。单增子序列的定义是：对于任意的 i<j，都满足ai<aj。
这里定义一个数组f[i]，用来存储数组a[i]为末尾元素的最长子序列的长度。则f[0]=1; f[i]=max(f[j]{j<i,且a[j]<a[i]})+1,(i>1时),如条件不满足，则f[i]=1。返回子序列的长度。代码如下：
public static int longDPsub(int[] a)
{
if(a.length==0)
return 0;
int[] f=new int[a.length]; //f[i]代表a[i]处的最长单增子序列的长度
f[0]=1;
for(int i=1;i<a.length;i++)
{
f[i]=1;
for(int j=0;j<i;j++)
{
if(a[j]<a[i] && f[j]+1>f[i])
f[i]=f[j]+1;
}
if(f[i]>length) //求f[0]到f[i]的最大值
length=f[i];
}
return length;
}
这里时间复杂度为O(n^2)，其实还有更优的算法使时间达到O(n*logn)，不过不再是用动态规划解决的。代码如下：
public static int longsub(int[] a)
{ // O(n*logn)算法
int INF = 1000000;
int n =a.length;
int[] dp=new int[n]; //dp[i]表示长度为i+1的上升子序列中末尾元素的最小值
for (int i = 0; i < n; i++)
{
dp[i] = INF;
}
for(int i=0;i<n;i++)
{
int l = -1;
int r = n;
int m;
while(l+1!= r){ //内循环：二分查找
m = (l+r)/2;
if (dp[m] < a[i])
l = m;
else
r = m;
}
dp[r]=a[i];
}
for(int i=0;i<n;i++)
{
if(dp[i]==INF)
return i;
}
return n;
}