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第五章 遞歸
本章源碼:https://github.com/name365/Java-Data-structure
遞歸應用場景和調用機制
遞歸的應用場景
先看個實際應用場景,迷宮問題(回溯),遞歸(Recursion)
遞歸的概念
簡單的說: 遞歸就是方法自己調用自己,每次調用時傳入不同的變量.遞歸有助於編程者解決複雜的問題,同時可以讓代碼變得簡潔。
遞歸調用機制
列舉兩個小案例,回顧一下遞歸調用機制
1)打印問題
2)階乘問題
遞歸調用規則:
當程序執行到一個方法時,就會開闢一個獨立的空間(棧)
每個空間的數據(局部變量),是獨立的.
public class RunTest {
public static void main(String[] args) {
//打印問題,遞歸調用
test(4);
//階乘問題,遞歸方法
int res = factorial(2);
System.out.println("res = " + res);
}
//打印問題
public static void test(int n) {
if (n > 2) {
test(n - 1);
} //else{
System.out.println("n=" + n);
//}
}
//階乘
public static int factorial(int n) {
if (n == 1) {
return 1;
} else {
return factorial(n - 1) * n;
}
}
}
遞歸能解決的問題和規則
遞歸能幹什麼????
各種數學問題如: 8皇后問題 , 漢諾塔, 階乘問題, 迷宮問題, 球和籃子的問題(google編程大賽)
各種算法中也會使用到遞歸,比如快排,歸併排序,二分查找,分治算法等.
將用棧解決的問題–>第歸代碼比較簡潔
運用遞歸需要遵守那些規則???
1. 執行一個方法時,就創建一個新的受保護的獨立空間(棧空間) 2. 方法的局部變量是獨立的,不會相互影響, 比如n變量 3. 如果方法中使用的是引用類型變量(比如數組),就會共享該引用類型的數據. 4. 遞歸必須向退出遞歸的條件逼近,否則就是無限遞歸,出現StackOverflowError,死龜了:) 5. 當一個方法執行完畢,或者遇到return,就會返回,遵守誰調用,就將結果返回給誰,同時當方法執行完畢或者返回時,該方法也就執行完畢。
迷宮回溯問題分析和實現
遞歸-迷宮問題
說明:
1.小球得到的路徑,和程序員設置的找路策略有關即:找路的上下左右的順序相關
2.再得到小球路徑時,可以先使用(下右上左),再改成(上右下左),看看路徑是不是有變化
3.測試回溯現象
4.思考: 如何求出最短路徑?
代碼實現如下:
public class MaGo {
public static void main(String[] args) {
//先創建一個二維數組,用於模擬迷宮
//地圖
int[][] map = new int[8][7];
//使用1表示
//上下全置爲1
for(int i = 0;i <7 ;i++){
map[0][i] = 1;
map[7][i] = 1;
}
//左右全置爲1
for(int i = 0;i < 8;i++){
map[i][0] = 1;
map[i][6] = 1;
}
//設置擋板,1表示
map[3][1] = 1;
map[3][2] = 1;
//輸出地圖
System.out.println("地圖的初始情況:");
for(int i = 0;i < 8;i++){
for(int j = 0;j < 7;j++){
System.out.print(map[i][j] + " ");
}
System.out.println();
}
//使用遞歸回溯給小球找路
setWay(map, 1, 1);
//輸出新的地圖, 小球走過,並標識過的遞歸
System.out.println("小球走過,並標識走過的地圖的情況:");
for(int i = 0;i < 8;i++){
for(int j = 0;j < 7;j++){
System.out.print(map[i][j] + " ");
}
System.out.println();
}
}
/**
*
* @Description 使用遞歸來給小球找路
* @author subei
* @date 2020年5月28日上午9:52:07
* @param map 表示地圖
* @param i 從哪個位置開始找
* @param j
* @return 如果找到通路,就返回true, 否則返回false
*/
//詳細說明
//1.map 表示地圖
//2.i,j 表示從地圖的哪個位置開始出發 (1,1)
//3.如果小球能到 map[6][5] 位置,則說明通路找到.
//4.約定: 當map[i][j] 爲 0 表示該點沒有走過 當爲 1 表示牆 ;2 表示通路可以走 ; 3 表示該點已經走過,但是走不通
//5.在走迷宮時,需要確定一個策略(方法) 下->右->上->左 , 如果該點走不通,再回溯
public static boolean setWay(int[][] map,int i,int j){
if(map[6][5] == 2){ //通路已經找到
return true;
}else{
if(map[i][j] == 0){ //如果當前的點未走過
//按步驟做 下->右->上->左 走
map[i][j] = 2; //假設此點可以通向終點
if(setWay(map, i+1, j)) { //先向下走
return true;
} else if (setWay(map, i, j+1)) { //再向右走
return true;
} else if(setWay(map, i-1, j)) { //再向上
return true;
} else if (setWay(map, i, j-1)){ //再向左走
return true;
} else {
//最後說明該點是無法通向終點,pass
map[i][j] = 3;
return false;
}
}else{ //如果map[i][j] != 0 , 可能是 1, 2, 3
return false;
}
}
}
}
另一種方法:
public class MaGo2 {
public static void main(String[] args) {
//先創建一個二維數組,用於模擬迷宮
//地圖
int[][] map = new int[8][7];
//使用1表示
//上下全置爲1
for(int i = 0;i <7 ;i++){
map[0][i] = 1;
map[7][i] = 1;
}
//左右全置爲1
for(int i = 0;i < 8;i++){
map[i][0] = 1;
map[i][6] = 1;
}
//設置擋板,1表示
map[3][1] = 1;
map[3][2] = 1;
//輸出地圖
System.out.println("地圖的初始情況:");
for(int i = 0;i < 8;i++){
for(int j = 0;j < 7;j++){
System.out.print(map[i][j] + " ");
}
System.out.println();
}
//使用遞歸回溯給小球找路
setWay2(map, 1, 1);
//輸出新的地圖, 小球走過,並標識過的遞歸
System.out.println("小球走過,並標識走過的地圖的情況:");
for(int i = 0;i < 8;i++){
for(int j = 0;j < 7;j++){
System.out.print(map[i][j] + " ");
}
System.out.println();
}
}
/**
*
* @Description 使用遞歸來給小球找路
* @author subei
* @date 2020年5月28日上午9:52:07
* @param map 表示地圖
* @param i 從哪個位置開始找
* @param j
* @return 如果找到通路,就返回true, 否則返回false
*/
//修改找路策略,改爲 上 --》 右 --》 下 --》 左
public static boolean setWay2(int[][] map,int i,int j){
if(map[6][5] == 2){ //通路已經找到
return true;
}else{
if(map[i][j] == 0){ //如果當前的點未走過
//按步驟做 上 --》 右 --》 下 --》 左 走
map[i][j] = 2; //假設此點可以通向終點
if(setWay2(map, i-1, j)) { //先向上走
return true;
} else if (setWay2(map, i, j+1)) { //再向右走
return true;
} else if(setWay2(map, i+1, j)) { //再向下
return true;
} else if (setWay2(map, i, j-1)){ //再向左走
return true;
} else {
//最後說明該點是無法通向終點,pass
map[i][j] = 3;
return false;
}
}else{ //如果map[i][j] != 0 , 可能是 1, 2, 3
return false;
}
}
}
}
八皇后問題分析和實現
八皇后問題介紹
八皇后問題,是一個古老而著名的問題,是回溯算法的典型案例。該問題是國際西洋棋棋手馬克斯·貝瑟爾於1848年提出:在8×8格的國際象棋上擺放八個皇后,使其不能互相攻擊,即:任意兩個皇后都不能處於同一行、同一列或同一斜線上,問有多少種擺法 (92) 。
算法思路分析
1.第一個皇后先放第一行第一列
2.第二個皇后放在第二行第一列、然後判斷是否OK, 如果不OK,繼續放在第二列、第三列、依次把所有列都放完,找到一個合適
3.繼續第三個皇后,還是第一列、第二列……直到第8個皇后也能放在一個不衝突的位置,算是找到了一個正確解
4.當得到一個正確解時,在棧回退到上一個棧時,就會開始回溯,即將第一個皇后,放到第一列的所有正確解,全部得到.
5.然後回頭繼續第一個皇后放第二列,後面繼續循環執行 1,2,3,4的步驟
說明:理論上應該創建一個二維數組來表示棋盤,但是實際上可以通過算法,用一個一維數組即可解決問題. arr[8] = {0 , 4, 7, 5, 2, 6, 1, 3} //對應arr 下標 表示第幾行,即第幾個皇后,arr[i] = val , val 表示第i+1個皇后,放在第i+1行的第val+1列
代碼實現如下:
public class Queue8 {
// 定義一個max表示共有多少個皇后
int max = 8;
// 定義一個數組array,保存皇后的地址,如 arr = {0 , 4, 7, 5, 2, 6, 1, 3}
int[] array = new int[max];
static int count = 0; // 統計解法數目
static int judgeCount = 0; // 統計衝突次數
public static void main(String[] args) {
// 具體測試:
Queue8 Q8 = new Queue8();
Q8.Qnum(0);
System.out.printf("一共有%d解法", count);
System.out.printf("一共判斷衝突的次數%d次", judgeCount); //15720次
}
// 自定義一個方法,放置n個皇后
// 注意: Qnum 是每一次遞歸時,進入到Qnum中都有 for(int i = 0; i < max; i++),因此會有回溯.
public void Qnum(int n) {
if (n == max) { // n = 8;等同於在放置第九個皇后,等同於結束
print(); // 輸出結果
return;
}
// 依次放入皇后,並進行相關判斷
for (int i = 0; i < max; i++) {
// 先把當前的皇后,放到該行的第1列
array[n] = i;
// 判斷當放置的第n個皇后到i列時,是否衝突
if (judge(n)) { // 如果不衝突
// 繼續放n+1個皇后,即開始遞歸
Qnum(n + 1);
}
// 如果衝突,就繼續執行 array[n] = i; 即將第n個皇后,放置在本行的皇后,後移的一個位置
}
}
// 定義一個方法,判斷放置的皇后之間是否產生衝突
// n 表示第n個皇后
private boolean judge(int n) {
// 詳細說明
// 1.array[i] == array[n] 表示判斷:第n個皇后是否和前面的n-1個皇后在同一列
// 2.Math.abs(n-i) == Math.abs(array[n] - array[i])
// 表示判斷:第n個皇后是否和第i皇后是否在同一斜線
// n = 1 放置第 2列 1 n = 1 array[1] = 1
// Math.abs(1-0) == 1 Math.abs(array[n] - array[i]) = Math.abs(1-0) = 1
// 3.表示判斷:是否在同一行, 沒有必要,n 每次都在遞增
judgeCount++;
for (int i = 0; i < n; i++) {
if (array[i] == array[n] || Math.abs(n - i) == Math.abs(array[n] - array[i])) {
return false;
}
}
return true;
}
// 定義一個方法,將皇后擺放的位置輸出
public void print() {
count++;
for (int i = 0; i < array.length; i++) {
System.out.print(array[i] + " ");
}
System.out.println();
}
}