圖像的傅里葉變換在頻譜居中上的誤區
如果你用MATLAB去計算圖像的傅里葉變換那麼你一定會用到FFTSHIFT這一函數爲了保證計算後的頻譜能夠居中化。如下圖。
Matlab代碼：
clear all;
close all;
I = im2double(imread('cameraman.tif'));
imshowpair(I,log(abs(fftshift(fft2(I)))+1),'montage')
但是你如果去看matlab的介紹或者在計算FFT之後調用FFTSHIFT函數，那麼經過該函數處理過的圖像會變成如下形式。如下圖。一定要注意：fftshift這一函數的調用是放在傅里葉變換之後的，這和頻譜居中的真實計算原理（即，利用傅里葉變換的屬性）根本就不一樣，可以說是一種投機取巧的方法，但也不失爲一個好的方法。
Matlab代碼：
Ishift = fftshift(I);
imshow(Ishift,[])
並且MATLAB還給出瞭如下圖所示的示意圖，即交換四個象限。注意：所以MATLAB的這種做法是一種投機取巧的做法。
而實際情況不是這樣的，根據傅里葉變換的屬性或者說是傅里葉變換對。
要想對頻域的信號進行移位，時域的信號需要乘以一個對應的指數函數。這條屬性叫做頻域移位特性。圖像信號在進行變換之前需要對每一個像素乘以（-1）^x+y次方。這是根據歐拉公式計算出來的（注意：e^jπ = -1）。
Matlab代碼：
Ie = zeros(size(I));
for i = 1:size(I,1)
for j = 1:size(I,2)
Ie(i,j) = (-1)^(i+j).*I(i,j);
end
end
imshowpair(I,Ie,'montage')
計算出來的圖像如下，左邊是原始圖像，右圖是乘以（-1）爲底的冪函數後的圖像。
簡單點說就是一正一負，每隔一個像素乘以一個負號，得到的圖像就好像黑白間隔的棋盤一樣。如下圖放大後的圖像細節所示。而不是那種四個象限互換後的結果。
最後我用空間域圖像乘以指數函數即（-1）^(x+y）的方式對圖像的頻譜進行居中化的操作，能夠得到和MATLAB自帶的函數fftshift一模一樣的結果。如下圖。
Wherefore，不論是一維信號的頻譜還是二維信號的頻譜，一定要記得真正的頻譜居中不只是簡單的fftshift或是四個象限的對調而是在進行變換之前，用一個指數函數乘以原始信號。而這個指數函數根據著名的歐拉公式e^jπ+1=0,最終變成了以（-1）爲底的冪函數。
（全文完）
鳴謝：
【1】Digital image processing, Third Edition. 岡薩雷斯
【2】signals and systems，Second Edition. 奧本海姆
【3】Matlab 2017a
謝謝收看！
再見！
《聖經》箴言 14章12節 有一條路，人以爲正，至終成爲死亡之路。
*配圖與本文無關*