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1、代碼效率的影響
- 如果這個效率低下的系統是離線的，那麼它會讓我們的開發週期、測試周期變得很長。
- 如果這個效率低下的系統是在線的，那麼它隨時具有時間爆炸或者內存爆炸的可能性。
2、代碼效率的度量
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複雜度是衡量代碼運行效率的重要的度量因素。
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降低複雜度的必要性：
- 舉例：在一個在線系統中實時處理數據。假設這個系統平均每分鐘會新增 300M 的數據量。如果你的代碼不能在 1 分鐘內完成對這 300M 數據的處理，那麼這個系統就會發生時間爆炸和空間爆炸。表現就是，電腦執行越來越慢，直到死機。因此，我們需要講究合理的計算方法，去通過儘可能低複雜程度的代碼完成計算任務。
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衡量的兩個維度
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問題一：這段代碼消耗的資源是什麼？
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回答：一般而言，代碼執行過程中會消耗計算時間和計算空間，那需要衡量的就是時間複雜度和空間複雜度。
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舉例：某個十字路口沒有建立立交橋時，所有車輛通過紅綠燈分批次行駛通過。當大量汽車同時過路口的時候，就會分別消耗大家的時間。但建了立交橋之後，所有車輛都可以同時通過了，因爲立交橋的存在，等於是消耗了空間資源，來換取了時間資源。
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問題二：這段代碼對於資源的消耗是多少？
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回答：我們不會關注這段代碼對於資源消耗的絕對量，因爲不管是時間還是空間，它們的消耗程度都與輸入的數據量高度相關，輸入數據少時消耗自然就少。爲了更客觀地衡量消耗程度，我們通常會關注時間或者空間消耗量與輸入數據量之間的關係。
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3、複雜度的定義
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雜度是一個關於輸入數據量 n 的函數。假設你的代碼複雜度是 f(n)，那麼就用個大寫字母 O 和括號，把 f(n) 括起來就可以了，即 O(f(n))。例如，O(n) 表示的是，複雜度與計算實例的個數 n 線性相關；O(logn) 表示的是，複雜度與計算實例的個數 n 對數相關。
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遵循的原則：
- 複雜度與具體的常係數無關，例如 O(n) 和 O(2n) 表示的是同樣的複雜度。我們詳細分析下，O(2n) 等於 O(n+n)，也等於 O(n) + O(n)。也就是說，一段 O(n) 複雜度的代碼只是先後執行兩遍 O(n)，其複雜度是一致的。
- 多項式級的複雜度相加的時候，選擇高者作爲結果，例如 O(n²)+O(n) 和 O(n²) 表示的是同樣的複雜度。具體分析一下就是，O(n²)+O(n) = O(n²+n)。隨着 n 越來越大，二階多項式的變化率是要比一階多項式更大的。因此，只需要通過更大變化率的二階多項式來表徵複雜度就可以了。
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注意：O(1) 也是表示一個特殊複雜度，含義爲某個任務通過有限可數的資源即可完成。此處有限可數的具體意義是，與輸入數據量 n 無關。
- 舉例：你的代碼處理 10 條數據需要消耗 5 個單位的時間資源，3 個單位的空間資源。處理 1000 條數據，還是只需要消耗 5 個單位的時間資源，3 個單位的空間資源。那麼就能發現資源消耗與輸入數據量無關，就是 O(1) 的複雜度。
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實例分析：對於輸入的數組，輸出與之逆序的數組。例如，輸入 a=[1,2,3,4,5]，輸出 [5,4,3,2,1]。
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方法一：建立並初始化數組 b，得到一個與輸入數組等長的全零數組。通過一個 for 循環，從左到右將 a 數組的元素，從右到左地賦值到 b 數組中，最後輸出數組 b 得到結果。
public void s1_1() { int a[] = { 1, 2, 3, 4, 5 }; int b[] = new int[5]; for (int i = 0; i < a.length; i++) { b[i] = a[i]; } for (int i = 0; i < a.length; i++) { b[a.length - i - 1] = a[i]; } System.out.println(Arrays.toString(b)); } -
方法一分析：這段代碼的輸入數據是 a，數據量就等於數組 a 的長度。代碼中有兩個 for 循環，作用分別是給b 數組初始化和賦值，其執行次數都與輸入數據量相等。因此，代碼的時間複雜度就是 O(n)+O(n)，也就是 O(n)。
空間方面主要體現在計算過程中，對於存儲資源的消耗情況。上面這段代碼中，我們定義了一個新的數組 b，它與輸入數組 a 的長度相等。因此，空間複雜度就是 O(n)。
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方法二：定義了緩存變量 tmp，接着通過一個 for 循環，從 0 遍歷到a 數組長度的一半（即 len(a)/2）。每次遍歷執行的是什麼內容？就是交換首尾對應的元素。最後打印數組 a，得到結果。
public void s1_2() { int a[] = { 1, 2, 3, 4, 5 }; int tmp = 0; for (int i = 0; i < (a.length / 2); i++) { tmp = a[i]; a[i] = a[a.length - i - 1]; a[a.length - i - 1] = tmp; } System.out.println(Arrays.toString(a)); } -
方法二分析：這段代碼包含了一個 for 循環，執行的次數是數組長度的一半，時間複雜度變成了 O(n/2)。根據複雜度與具體的常係數無關的性質，這段代碼的時間複雜度也就是 O(n)。
空間方面，我們定義了一個 tmp 變量，它與數組長度無關。也就是說，輸入是 5 個元素的數組，需要一個 tmp 變量；輸入是 50 個元素的數組，依然只需要一個 tmp 變量。因此，空間複雜度與輸入數組長度無關，即 O(1)。
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結論：對於同一個問題，採用不同的編碼方法，對時間和空間的消耗是有可能不一樣的。因此，工程師在寫代碼的時候，一方面要完成任務目標；另一方面，也需要考慮時間複雜度和空間複雜度，以求用儘可能少的時間損耗和儘可能少的空間損耗去完成任務。
4、複雜度與代碼結構的關係
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代碼的時間複雜度，與代碼的結構有非常強的關係
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舉例1：定義了一個數組 a = [1, 4, 3]，查找數組 a 中的最大值
public void s1_3() { int a[] = { 1, 4, 3 }; int max_val = -1; int max_inx = -1; for (int i = 0; i < a.length; i++) { if (a[i] > max_val) { max_val = a[i]; max_inx = i; } } System.out.println(max_val); } -
分析：代碼的實現方法是，暫存當前最大值並把所有元素遍歷一遍即可。因爲代碼的結構上需要使用一個 for 循環，對數組所有元素處理一遍，所以時間複雜度爲 O(n)。
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舉例2：定義了一個數組 a = [1, 3, 4, 3, 4, 1, 3]，在這個數組中查找出現次數最多的那個數字
public void s1_4() { int a[] = { 1, 3, 4, 3, 4, 1, 3 }; int val_max = -1; int time_max = 0; int time_tmp = 0; for (int i = 0; i < a.length; i++) { time_tmp = 0; for (int j = 0; j < a.length; j++) { if (a[i] == a[j]) { time_tmp += 1; } if (time_tmp > time_max) { time_max = time_tmp; val_max = a[i]; } } } Sysem.out.println(val_max); } -
分析：這段代碼中，我們採用了雙層循環的方式計算：第一層循環，我們對數組中的每個元素進行遍歷；第二層循環，對於每個元素計算出現的次數，並且通過當前元素次數 time_tmp 和全局最大次數變量 time_max 的大小關係，持續保存出現次數最多的那個元素及其出現次數。由於是雙層循環，這段代碼在時間方面的消耗就是 n*n 的複雜度，也就是 O(n²)。
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（經驗性）結論：
- 一個順序結構的代碼，時間複雜度是 O(1)。
- 二分查找，或者更通用地說是採用分而治之的二分策略，時間複雜度都是 O(logn)。
- 一個簡單的 for 循環，時間複雜度是 O(n)。
- 兩個順序執行的 for 循環，時間複雜度是 O(n)+O(n)=O(2n)，其實也是 O(n)。
- 兩個嵌套的 for 循環，時間複雜度是 O(n²)。
5、降低複雜度的必要性
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存在問題：很多新手的工程師，對降低時間複雜度並沒有那麼強的意識。這主要是在學校或者實驗室中，參加的課程作業或者科研項目，普遍都不是實時的、在線的工程環境。
實際的在線環境中，用戶的訪問請求可以看作一個流式數據。假設這個數據流中，每個訪問的平均時間間隔是 t。如果你的代碼無法在 t 時間內處理完單次的訪問請求，那麼這個系統就會一波未平一波又起，最終被大量積壓的任務給壓垮。這就要求工程師必須通過優化代碼、優化數據結構，來降低時間複雜度。
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舉例：某個計算任務需要處理 10萬 條數據，此時如果代碼複雜度：
- 是 O(n²) 的時間複雜度，那麼計算的次數就大概是 100 億次左右。
- 是 O(n)，那麼計算的次數就是 10萬 次左右。
- 是 O(log n) 的複雜度下完成任務（厲害的工程師.），那麼計算的次數就是 17 次左右（log 100000 = 16.61，計算機通常是二分法，這裏的對數可以以 2 爲底去估計）。
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結論：代碼複雜度的區別使得計算量變得很懸殊。通常在小數據集上，時間複雜度的降低在絕對處理時間上沒有太多體現。但在當今的大數據環境下，時間複雜度的優化將會帶來巨大的系統收益。而這是優秀工程師必須具備的工程開發基本意識。
6、總結
- 複雜度通常包括時間複雜度和空間複雜度。在具體計算複雜度時需要注意以下幾點：
- 它與具體的常係數無關，O(n) 和 O(2n) 表示的是同樣的複雜度。
複雜度相加的時候，選擇高者作爲結果，也就是說 O(n²)+O(n) 和 O(n²) 表示的是同樣的複雜度。 - O(1) 也是表示一個特殊複雜度，即任務與算例個數 n 無關。
- 複雜度細分爲時間複雜度和空間複雜度，其中時間複雜度與代碼的結構設計高度相關；
- 空間複雜度與代碼中數據結構的選擇高度相關。
- 它與具體的常係數無關，O(n) 和 O(2n) 表示的是同樣的複雜度。
- 會計算一段代碼的時間複雜度和空間複雜度，是工程師的基本功。這項技能你在實際工作中一定會用到，甚至在參加互聯網公司面試的時候，也是面試中的必考內容
內容參考課程《重學數據結構與算法》
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