算法-動態規劃-新21點
1 題目概述
1.1 題目出處
https://leetcode-cn.com/problems/new-21-game/
1.2 題目描述
愛麗絲參與一個大致基於紙牌遊戲 “21點” 規則的遊戲,描述如下:
愛麗絲以 0 分開始,並在她的得分少於 K 分時抽取數字。 抽取時,她從 [1, W] 的範圍中隨機獲得一個整數作爲分數進行累計,其中 W 是整數。 每次抽取都是獨立的,其結果具有相同的概率。
當愛麗絲獲得不少於 K 分時,她就停止抽取數字。 愛麗絲的分數不超過 N 的概率是多少?
示例 1:
輸入:N = 10, K = 1, W = 10
輸出:1.00000
說明:愛麗絲得到一張卡,然後停止。
示例 2:
輸入:N = 6, K = 1, W = 10
輸出:0.60000
說明:愛麗絲得到一張卡,然後停止。
在 W = 10 的 6 種可能下,她的得分不超過 N = 6 分。
示例 3:
輸入:N = 21, K = 17, W = 10
輸出:0.73278
提示:
0 <= K <= N <= 10000
1 <= W <= 10000
如果答案與正確答案的誤差不超過 10^-5,則該答案將被視爲正確答案通過。
此問題的判斷限制時間已經減少。
2 動態規劃
2.1 思路
dp表示當前分數爲i的時候的符合規則的概率
因爲要求停止時機爲分數不小於K,所以最後一項是K-1+W,最小是0
dp[i]很難找到和dp[i-1]的關係,反而可以找和dp[i+1],dp[i+2],…的關係
當分數達到i時,1/W的均等機會到達 [i+1, K-1+W]各個分數,所以有:
(1)dp[i] = 1/W * (dp[i+1] + dp[i+2] + ... + dp[i+W]),且i<K
而dp[K]到dp[i+W]可以直接計算符合規則概率爲,即分數小於等於N就是1,大於N就是0。但每次這樣遞推計算的話存在很多重複計算,再考慮
(2)dp[i-1] = 1/W * (dp[i] + dp[i+1] + ... + dp[i+W-1]),且i<K
兩式相減可得
(3)dp[i-1] = dp[i] + 1/W * (dp[i] - dp[i+W]]),且i<K
因爲i < K,所以(3)可以推出0到K-1-1即0到K-2。
而dp[K-1]可由(1)計算 dp[K-1] = 1/W * (dp[K] + dp[K+1] + … + dp[K-1+W])
2.2 代碼
class Solution {
public double new21Game(int N, int K, int W) {
// dp表示當前分數爲i的時候的符合規則的概率
// 因爲要求停止時機爲分數不小於K,所以最後一項是K-1+W,最小是0
// dp[i]很難找到和dp[i-1]的關係,反而可以找和dp[i+1],dp[i+2],...的關係
// 當分數達到i時,1/W的均等機會到達 [i+1, K-1+W]各個分數,所以有:
// (1)dp[i] = 1/W * (dp[i+1] + dp[i+2] + ... + dp[i+W]),且i<K
// 而dp[K]到dp[i+W]可以直接計算符合規則概率爲,即分數小於等於N就是1,大於N就是0
// 但每次這樣遞推計算的話存在很多重複計算,再考慮
// (2)dp[i-1] = 1/W * (dp[i] + dp[i+1] + ... + dp[i+W-1]),且i<K
// 兩式相減可得
// (3)dp[i-1] = dp[i] + 1/W * (dp[i] - dp[i+W]]),且i<K
// 因爲i < K,所以(3)可以推出0到K-1-1即0到K-2
// 而dp[K-1]可由(1)計算 dp[K-1] = 1/W * (dp[K] + dp[K+1] + ... + dp[K-1+W])
double[] dp = new double[K + W];
double tmp = 0d;
// for(int i = K; i <= K-1+W; i++){
// dp[i] = i <= N? 1 : 0;
// tmp += dp[i];
// }
int max = Math.min(K-1+W, N);
for(int i = K; i <= max; i++){
dp[i] = 1;
tmp += dp[i];
}
// 計算dp[K-1]
if(K > 0 && W > 0){
dp[K-1] = tmp / W;
}
// 計算dp[K-2] -> dp[0]
for(int i = K-2; i >= 0; i--){
dp[i] = dp[i+1] + (dp[i+1] - dp[i+1+W]) / W;
}
return dp[0];
}
}
2.3 時間複雜度
O(N)
2.4 空間複雜度
O(K + W)