1 簡介與實例
在有序數組中查找某一數據所在的下標，若存在該數據，返回下標，否則返回-1。
#include <cstdio>
int a[10]={1,3,5,7,9,11,13,15,17,19};
int value; //待查找元素的值
int index; //查找到的下標，如果沒有查到，返回-1
int search_index(int a[],int n)
{
int l=0;
int r=n-1;
while(l<=r)
{
int mid=l+((r-l)>>2);
if(a[mid]==value)
return mid;
else if(a[mid]>value)
r=mid-1;
else
l=mid+1;
}
return -1;
}
int main()
{
printf("請輸入您要查詢的數據：\n");
while(scanf("%d",&value)!=EOF)
{
index=search_index(a,10);
printf("您所查詢的數據%d所在的下標爲:%d\n",value,index);
}
return 0;
}
以上是左閉右閉的寫法，所謂左開右閉就是在[0,n-1]的區間查找，區間的左右邊界都可以取到。
#include <cstdio>
int a[10]={1,3,5,7,9,11,13,15,17,19};
int value; //待查找元素的值
int index; //查找到的下標，如果沒有查到，返回-1
int search_index(int a[],int n)
{
int l=0;
int r=n;
while(l<r)
{
int mid=l+((r-l)>>2);
if(a[mid]==value)
return mid;
else if(a[mid]>value)
r=mid;
else
l=mid+1;
}
return -1;
}
int main()
{
printf("請輸入您要查詢的數據：\n");
while(scanf("%d",&value)!=EOF)
{
index=search_index(a,10);
printf("您所查詢的數據%d所在的下標爲:%d\n",value,index);
}
return 0;
}
以上是左閉右開的寫法，即在[0,n)的範圍查找，右邊的數字取不到。注意這種寫法與左閉右閉寫法的邊界調整的區別。
2 二分的應用，變種與案例
二分查找常見的應用場景：
1 在有序序列中查找一個數，比如上邊的例子。
2 並不一定非要在有序序列中得到應用，任意一個序列，只要在二分之後可以淘汰掉一半，那麼就可以採用二分法。比如騰訊秋招筆試題目-貪吃的小Q
二分查找常見的考察點：
1 對於邊界條件的考察以及代碼實現的能力。
2 二分搜索常見題目的變化：
（1）給定處理或查找的對象不同。比如在有重複數值的數組中查找和在無重複數值的數組中查找時，處理情況的細節稍顯差異。
（2）判斷條件不同。一般需要查找一個數組中等於X的位置，我們也可以查找數組中大於或小於X的位置。
（3）要求返回的內容不同。返回任意一個等於X的位置，返回最早等於X的位置，或者返回等於X的個數等。
3 在有序循環數組中進行二分查找：
比如數組12345循環之後可以是：12345 23451 34512 45123 51234
二分搜索的重要提醒：
在選擇中間節點時，選擇的公式爲mid=left+(right-left)/2, 防止數據過大時數據溢出。
案例一
本題可以用二分法解決。
1 如果數組爲空或長度爲0，返回-1，表示局部最小位置不存在。
2 如果數組長度爲1，返回0，因爲0便是局部最小位置。
3 如果數組長度大於1，先檢查2頭的位置。即：
（1）如果a[0]<a[1],返回0
（2）如果a[n-1]<a[n-2]，返回n-1
4 如果2頭不滿足，說明a[0]>a[1],a[n-1]>a[n-2],所以從最左的位置向右看，有減小的趨勢，從最右的位置向左看，也是減小的趨勢。此時查看mid位置的數據：
（1）如果Mid位置的數據既比左邊小，又比右邊小，則爲局部最小值。
（2）如果Mid的數據比右邊小，比左邊大，則mid往左是減小的趨勢。取左部分繼續查找。
（3）如果Mid的數據比左邊小，比右邊大，則Mid往右是減小的趨勢，取右部分繼續查找。
（4）如果mid的數據比左右都大，任選一側都可以。
#include <cstdio>
const int maxn=20;
int n;
int a[maxn];
int index;
int find_part_min_index(int a[],int n)
{
if(n<=0)
return -1;
else if(n==1)
return 0;
else if(a[0]<a[1])
return 0;
else if(a[n-1]<a[n-2])
return n-1;
int left=0;
int right=n-1;
while(left<=right)
{
int mid=left+(right-left)>>1;
if(a[mid]<a[mid-1]&&a[mid]<a[mid+1])
return mid;
else if(a[mid]>a[mid-1]&&a[mid]<a[mid+1])
right=mid-1;
else if(a[mid]>a[mid+1]&&a[mid]<a[mid-1])
left=mid+1;
else
left=mid+1;
}
return -1;
}
int main()
{
while(true)
{
printf("請輸入數組的元素個數：\n");
scanf("%d",&n);
printf("請輸入數組的元素：\n");
for(int i=0;i<n;i++)
{
scanf("%d",&a[i]);
}
index=find_part_min_index(a,n);
printf("數組的局部最小位置下標爲:%d\n",index);
printf("\n");
}
return 0;
}
案例二
給定一個有序數組arr，再給定一個整數num,請在數組中找到數字num這個數出現的最左邊的位置。
思路：定義一個全局變量ans，用變量記錄數據num最後一次出現的位置。如果最後沒有找到，就返回-1.
#include <cstdio>
const int maxn=20;
int ans;
int a[maxn];
int n;
int num=3;
int find_num_of_min_index(int a[],int n)
{
if(n<=0)
return -1;
int left=0;
int right=n-1;
while(left<=right)
{
int mid=left+(right-left)/2;
if(a[mid]==num)
{
ans=mid;
right=mid-1;
continue;
}
else if(a[mid]>num)
{
right=mid-1;
}
else
left=mid+1;
}
if(a[ans]==num)
return ans;
else
return -1;
}
int main()
{
while(true)
{
printf("請輸入數組的元素個數：\n");
scanf("%d",&n);
printf("請輸入數組的元素：\n");
for(int i=0;i<n;i++)
{
scanf("%d",&a[i]);
}
int index=find_num_of_min_index(a,n);
printf("數組的關於數據%d的最小位置下標爲:%d\n",num,index);
printf("\n");
}
return 0;
}
案例三
給定一個有序循環數組，返回數組中的最小值。{3，4，5，1，2}
首先判斷a[0]是否小於a[n-1]，如果小於，說明數列已經有序，直接返回a[0]即可。
否則，a[0]>=a[n-1]：說明是逆序的：
（1）如果a[0]>a[M]，則在0-m的範圍找；（注意不是m-1）
（2）如果a[n-1]<a[m] ,則在m+1----n-1的範圍去找
（3）否則，必有a[0]<=a[m]，a[m]<=a[n-1]，又a[0]>=a[n-1]，則a[0]=a[n-1]=a[m]。這個時候的情況就如：2222222221222。只可以通過遍歷來確定了。
#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <string>
#include <sstream>
#include <vector>
using namespace std;
int solve(vector<int> &vec)
{
if(vec.size()==0)
return -1;
if(vec.size()==1)
return vec[0];
if(vec[0]<vec[vec.size()-1])
return vec[0];
int left=0;
int right=vec.size()-1;
while(left<=right)
{
int mid=(right-left)/2+left;
if(vec[left]>vec[mid])
right=mid;
else if(vec[mid]>vec[right])
left=mid+1;
else
{
int ans=vec[0];
for(int i=1;i<vec.size()-1;i++)
{
if(ans>vec[i])
ans=vec[i];
}
return ans;
}
}
return -1;
}
int main()
{
string input;
getline(cin,input);
istringstream istr(input);
int num;
vector<int> vec;
while(istr>>num)
{
vec.push_back(num);
}
int res=solve(vec);
if(res!=-1)
cout<<"數組中最小元素值爲: "<<res<<endl;
else
cout<<"該數組爲空數組！"<<endl;
return 0;
}
案例四
給定一個有序數組arr,其中不含有重複元素，請找出滿足arr[i]==i的條件最左的位置，如果所有位置上的數都不滿足，返回-1。
思路如下：
（1）首先判斷a[0]>=N-1,一定不存在。
（2）再判斷a[N-1]<=0,同樣不存在。
（3）觀察中間元素：如果a[mid]>mid,right=mid-1;如果a[mid]<mid,left=mid+1;否則，記錄該位置，繼續right=mid-1;
#include <cstdio>
int res=-1; //記錄最後出現的位置
const int maxn=100;
int a[maxn];
int find_index(int a[],int n)
{
if(n<=0)
return -1;
if(n==1)
{
if(a[0]==0)
return 0;
else
return -1;
}
if(a[0]>=n-1)
return -1;
if(a[n-1]<=0)
return -1;
int left=0;
int right=n-1;
while(left<=right)
{
int mid=left+(right-left)/2;
if(a[mid]>mid)
{
right=mid-1;
continue;
}
else if(a[mid]>mid)
{
left=mid+1;
continue;
}
else
{
res=mid;
right=mid-1;
}
}
return res;
}
int main()
{
int n;
while(scanf("%d",&n)!=EOF)
{
for(int i=0;i<n;i++)
{
scanf("%d",&a[i]);
}
res=find_index(a,n);
printf("%d\n\n",res);
}
return 0;
}
案例五
給定一顆完全二叉樹頭節點head，返回這棵樹節點的個數，若完全二叉樹節點數爲N，請實現時間複雜度低於O（N）的解法。
首先找到二叉樹最左邊的節點，目的是統計出二叉樹的高度/深度。
接着，找到二叉樹頭節點的右子樹的最左邊節點，如果該節點可以到達最後一層，說明頭節點左子樹是一個滿二叉樹。
這時，求出左子樹節點個數加上根節點，右子樹節點個數可以通過遞歸求取。
如果該節點不可以到達最後一層，說明頭節點的右子樹是一顆完全二叉樹。這時候求右子樹節點個數加上根節點，左子樹節點個數可以通過遞歸求得。
其時間複雜度爲O(logN^2)
參考博客：https://blog.csdn.net/qq_17550379/article/details/82052746
案例六
如何更快地求取一個整數k的N次方。若2個整數相乘並得到結果的時間複雜度爲O（1），得到整數k的N次方的過程請實現時間複雜度爲O（logN）的方法。
法一：
遞歸法：
#include <cstdio>
int base,exp;
int PowerWithExponent(int base,unsigned int exp)
{
if(exp==0)
return 1;
if(exp==1)
return base;
int result=PowerWithExponent(base,exp>>1);
result*=result;
if(exp&0x1==1)
result*=base;
return result;
}
int main()
{
printf("請輸入底數和指數：\n");
scanf("%d%d",&base,&exp);
int result=PowerWithExponent(base,exp);
printf("%d\n",result);
return 0;
}
法二：
例如求
即
那麼我們可以先求出
代碼如下：
題目爲
#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
typedef long long LL;
LL binaryPow(LL a, LL b,LL m)
{
LL res=1;
while(b>0)
{
if(b&1)
{
res=res*a%m;
}
a=a*a%m;
b>>=1;
}
return res;
}
int main()
{
LL a,b,m,res;
cin>>a>>b>>m;
res=binaryPow(a,b,m);
cout<<res<<endl;
return 0;
}
案例七 查找數組中第一個大於等於給定值的元素
#include <cstdio>
#include <iostream>
using namespace std;
int find_upper(int a[],int n)
{
if(n==0)
return -1;
if(n==1)
{
if(a[0]>=3)
return a[0];
else
return -1;
}
int left=0;
int right=n-1;
int res=-1;
while(left<=right)
{
int mid=left+(right-left)/2;
if(a[mid]<3)
left=mid+1;
else if(a[mid]>=3)
{
right=mid-1;
res=a[mid];
}
}
return res;
}
int main()
{
int n;
cin>>n;
int a[n];
for(int i=0;i<n;i++)
{
cin>>a[i];
}
int num=find_upper(a,n);
cout<<num;
}
案例八 求數值的近似值
求根號2的近似值，精度爲1e-5
#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;
const double eps=1e-5;
double f(double m)
{
return m*m;
}
int main()
{
double left=1;
double right=2;
double mid;
while(right-left>eps)
{
mid=(left+right)/2;
if(f(mid)>2)
right=mid;
else
left=mid;
}
cout<<mid<<endl;
return 0;
}
案例九 秋招猿輔導三面面試題：
一個二維蛇形矩陣，數值非遞減，求一個數據在不在數組中。
1 2 3
6 5 4
7 9 11
思路：把二維看作一維，注意下標到真實位置的換算奧
#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
bool invector(vector<vector<int> > &vt,int val)
{
if(vt.size()==0)
return false;
int n=vt.size();
int m=vt[0].size();
int left=0;
int right=n*m-1;
while(left<=right)
{
int mid=left+(right-left)/2;
//奇數行,遞減
if(mid/m%2)
{
int data=vt[mid/m][m-mid%m-1];
if(val==data)
return true;
else if(val>data)
{
left=mid+1;
}
else
right=mid-1;
}
//偶數行，遞增
else
{
int data=vt[mid/m][mid%m];
if(val==data)
return true;
else if(val>data)
{
left=mid+1;
}
else
right=mid-1;
}
}
return false;
}
int main()
{
int n,m,val;
cin>>n>>m>>val;
vector<vector<int> > vt;
for(int i=0;i<n;i++)
{
vector<int> temp(m,0);
for(int j=0;j<m;j++)
{
cin>>temp[j];
}
vt.push_back(temp);
}
if(invector(vt,val))
{
cout<<val<<"在vt中"<<endl;
}
else
cout<<val<<"不在vt中"<<endl;
return 0;
}