動態規劃筆記——最長公共子序列&&最長公共字串&&機器人走方格&&爬樓梯

最長公共子序列

Ax= a1,a2,……ax, By= b1,b2,……by, LCS(m,n)表示它們的最長公共子序列長度。L(x, y)表示Ax和By的一個最長公共子序列。
令x表示子序列考慮最後一項

（1） t = Ax ＝ By

那麼它們L(x，y)的最後一項一定是這個元素

此時：LCS(Ax, By) = LCS(x - 1, y - 1) + 1

（2）  Ax ≠ By
仍然設t = L(Ax, By), 或者L(Ax, By)是空序列（這時t是未定義值不等於任何值）。
則t  ≠ Ax和t  ≠ By至少有一個成立，因爲t不能同時等於兩個不同的值！

如果t  ≠ Ax，

則：L(x, y)= L(x - 1, y)
       LCS(x,y) = LCS(x – 1, y)

如果t  ≠ By,

       L(x, y)= L(x , y - 1)

       LCS(x,y) = LCS(x, y – 1)

可是，我們事先並不知道t，由定義，我們取最大的一個，因此這種情況下,有LCS(x,y) = max(LCS(x – 1, y) , LCS(x, y – 1))。
所以：

LCS(x,y) = 
(1) LCS(x - 1,y - 1) + 1 如果Ax ＝ By
(2) max(LCS(x – 1, y) , LCS(x, y – 1)) 如果Ax ≠ By
(3) 0 如果x = 0或者y = 0（一個空序列和任何序列的最長公共子序列都是空序列）

到此我們求出了計算最長公共子序列長度的遞推公式。

    0 1 2 3 4 5 j

 i 0

  1

  2

  3

  4

  i=j=0時，dp[i][j]=0

  A[i]=B[j]時(從1計數)，dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1

  A[i]!=B[j]時，dp[i][j]=max(dp[i][j-1],dp[i-1][j])

int findLCS(string A, int n, string B, int m) {
        int table[n + 1][m + 1];
        for(int i=0;i<=n;i++)
            table[i][0]=0;
        for(int i=0;i<=m;i++)
            table[0][i]=0;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            for(int j=1;j<=m;j++)
            {
                if(A[i-1]==B[j-1])
                    table[i][j]=table[i-1][j-1]+1;
                else
                    table[i][j]=max(table[i][j-1],table[i-1][j]);
            }
        }
        return table[n][m];
    }

 最長公共字串

明白了最長公共子序列，這個問題就很好理解了，重要的是找到轉移方程：

class LongestSubstring {
public:
    int findLongest(string A, int n, string B, int m) {
        int res=0;
        int c[n+1][m+1];
        for(int i=0;i<=n;i++)
        {
            for(int j=0;j<=m;j++)
            {
                if(i==0||j==0)
                    c[i][j]=0;
                else if(A[i-1]==B[j-1])
                {
                    c[i][j]=c[i-1][j-1]+1;
                    res=max(c[i][j],res);
                }
                else
                    c[i][j]=0;
            }
        }
        return res;
    }
};

機器人走方格

有一個XxY的網格，一個機器人只能走格點且只能向右或向下走，要從左上角走到右下角。請設計一個算法，計算機器人有多少種走法。

解題思路：

對於當前的每一步F(x , y)，一定是從F(x-1 , y)或F(x , y-1)走過來的。

假設機器人走到F(x-1 , y)有m種走法，走到F(x , y-1)有n種走法，則走到F(x , y)有m+n種走法。

這就是問題核心。

關於初值問題：

即：只有一行或者只有一列時，怎麼走？

走法當然是只有一種。所以初始化F(0 , i)與F(j, 0)爲1

法一：遞歸

 int countWays(int x, int y) {
        //遞歸
        if(x==0&&y==0)
            return 0;
        else if(x==1||y==1)
            return 1;
        else
            return countWays(x-1,y)+countWays(x,y-1);
    }

很好理解，可惜效率不高，當方格數變多時，耗時過多。

所以——鐺鐺鐺鐺！所有的遞歸都可以改寫成循環。

法二：動態規劃

int uniquePaths(int m, int n) {
         vector<vector <int> > F(m ,vector<int>(n,1));
         for(int i=1;i<m;i++)
         {
             for(int j=1;j<n;j++)
             {
                 F[i][j]=F[i-1][j]+F[i][j-1];
             }
         }
         return F[m-1][n-1];
      }

分析：vector二維數組保存走到每個方格的走法數

          雙層for循環在更新走到每個方格的走法數

爬樓梯問題

你正在爬樓梯，需要n步才能達到頂峯。每次只能爬1或2步。 你可以通過多少不同的方式登頂？

動態規劃法：

 int climbStairs(int n) {
        int dp[n + 1];
        dp[0] = 1;
        dp[1] = 1;
        for(int i = 2; i <= n; i++){
            dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
        }
        return dp[n];
    }

 

參考來自：https://blog.csdn.net/lz161530245/article/details/76943991

                  https://blog.csdn.net/u012102306/article/details/53184446