【清華夏令營2016模擬5.31】圖森破

題目

Description
小火車勵志成爲一名辣雞出題人，但是要成爲一名辣雞出題人，代碼必須跑得比誰都快，這樣就能把他們都卡常數了！爲了鍛鍊自己，他找到了一位長者——羅長者，羅長者說：“你啊，toosimple！不要想弄一個大新聞，說現在已經‘欽定’了，然後把我批評一番。”小火車坐在高高的骨灰旁邊，聽長者講那欽定的事情。
如果一個n位數X（可以有前導0）對所有的k(1<=k<n)都滿足X10k mod 10n>X，長者就會欽定這個X，然後長者會產生n2的愉悅度。長者會指定一個n，然後欽定滿足條件的1位數，2位數，…，n位數。求長者的愉悅度之和，答案模258280327（2317+1，一個質數）。

Input
一行一個正整數表示n。

Output
一行一個整數表示答案。

Sample Input
2

Sample Output
190

Data Constraint
所有的一位數都滿足，共10個。
滿足條件的兩位數的有01到09,12到19,23到29,34到39,45到49,56到59,67到69,78,79,89總共45個。

Hint
對於10%的數據，n=7。
對於30%的數據，n<=10000。
對於60%的數據，n<=10000000。
對於100%的數據，n<=10000000000。

思路

考慮一個串，如果它沒有循環同構串和它相同，那麼它的最小循環同構串就是一個合法的答案。

記f[n]爲長度爲n的沒有循環同構串和自己相同的串個數，那麼f[n]/n就是長度n時的答案。

f[n]=10ⁿ−∑d|n and d≠n f[d]

直接統計10…的貢獻，不難得到：
f[n]=∑d|n10^d∗μ(n/d)

杜教篩處理μ(i)∗i的前綴和，後面是高中數列題。

代碼

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int mod = 258280327;

ll power(ll x,ll y) {
	ll s = 1;
	for(; y; y /= 2,x = x * x % mod)
		if(y & 1) s = s * x % mod;
	return s;
}

const ll ni2 = power(2,mod - 2);

const int N = 1e6 + 5;

int bz[N],p[N],p0,mu[N];
ll s[N];

void init(int n) {
	mu[1] = 1;
	fo(i,2,n) {
		if(!bz[i]) p[++ p0] = i,mu[i] = -1;
		for(int j = 1; i * p[j] <= n; j ++) {
			int k = i * p[j] % mod;
			bz[k] = 1;
			if(i % p[j] == 0) {
				mu[k] = 0; break;
			}
			mu[k] = -mu[i];
		}
	}
	fo(i,1,n) s[i] = (s[i - 1] + mu[i] * i) % mod;
}

ll n;

ll cn1(ll x) {
	x %= mod;
	return x * (x + 1) % mod * ni2 % mod;
}

const ll ni9 = power(9,mod - 2);

ll calc(ll x) {
	ll s = (power(10,x + 1) - 10) * ni9 - power(10,x + 1) * (x % mod);
	s = (-s % mod + mod) * ni9 % mod;
	return s;
}

const int M = 1960817;

struct hash {
	ll h[M],f[M];
	int fi[M],nt[M],tot;
	ll &operator [] (ll n) {
		int y = n % M;
		for(int p = fi[y]; p; p = nt[p])
			if(h[p] == n) return f[p];
		nt[++ tot] = fi[y],fi[y] = tot,h[tot] = n;
		return f[tot];
	}
	int find(ll n) {
		int y = n % M;
		for(int p = fi[y]; p; p = nt[p])
			if(h[p] == n) return 1;
		return 0;
	}
} h;

ll dg(ll n) {
	if(n <= 1e6) return s[n];
	if(h.find(n)) return h[n];
	ll s = 1;
	for(ll i = 2,j; i <= n; i = j + 1) {
		j = n / (n / i);
		s = (s - (cn1(j) - cn1(i - 1)) * dg(n / i)) % mod;
	}
	s = (s % mod + mod) % mod;
	return h[n] = s;
}

int main() 
{
	init(1e6);
	scanf("%lld",&n);
	ll ans = 0;
	for(ll i = 1,j; i <= n; i = j + 1) {
		j = n / (n / i);
		ans = (ans + (dg(j) - dg(i - 1)) * calc(n / i))	% mod;
	}
	ans = (ans % mod + mod) % mod;
	pp("%lld\n",ans);
}