【noi.ac #1759】ZYB的測驗計劃

題目

題目描述
ZYB是一名資深特級OI教師。在他的題庫裏，一共有M道判斷題。現在，他正在教授N名OI選手，作爲一名特級教師，他一眼就看出了每個學生對每道問題的答案是YES還是NO.

現在他希望出一場堂測，他會選擇這些判斷題當中的一個非空子集(2M−1種可能)。他希望這場堂測能有一些區分度。定義一道題目有區分度，當且僅當至少有一個學生回答YES,並且至少有一個學生回答NO，而一場堂測有區分度，當且僅當所有的題目都是有區分度的。

然而，這些學生有可能會咕咕咕。每個學生只有50%的可能出現在這堂課上進行堂測。現在ZYB想知道，對於每個不同的子集，有多大的概率這場堂測是有區分度的呢?

爲了方便起見，假設這2M−1個概率分別是Ans1,Ans2,…,Ans2M−1,你只需要輸出(Ans1×2Nmod998244353)xor(Ans2×2Nmod998244353)xor…xor(Ans2M−1×2Nmod998244353)的值.

輸入格式
第一行兩個整數n,m.

接下來n行,每行一個長度爲m的01字符串,其中第i位爲1表示該學生對這個問題回答YES,0表示回答NO.

輸出格式
一行輸出所求值。

樣例1
輸入

2 2
01
10
輸出

1
解釋 對於每道題目，當且僅當所有人都到時纔有區分度.故Ans1=Ans2=Ans3=1/4,帶入可知是1.

樣例2
輸入

4 2
00
01
10
11
輸出

7
解釋 對於第一題,當只有1,2或只有3,4到時是沒區分度的,所以可能性是(16-7)/16,第二題也是如此.

若需要兩題都有區分度,則需要1,4同時到或2,3同時到,則(1,4),(2,3)以及任意超過3個人到都是合法解。可能性爲7/16.

於是，答案爲9 xor 9 xor 7=7

數據範圍
對於30%的數據,M≤4.

對於60%的數據,M≤10.

對於100%的數據,N≤100000,M≤15

思路

我們考慮設$f_S$表示$S$裏面的這些題目都有區分度的方案數。

那麼我們可以知道$f_S=\sum_{S' \sub S} (-1)^{|S'|}G_{S'}$,其中$S'$是$S$的一個 子集,而$g_S$的含義是有多少種方案使得$S$中的所有題都沒有區分度.

最後我們考慮如何計算$g_S$。我們設計一個$h_S$,$S$是一個長度爲$m$的三進制數,如果第$i$位爲$2$表示這一位無所謂，然後如果 這一位爲$0/1$則表示這一位選擇$0/1$的數的個數. 設$S'$是$S$中不爲$2$的位置集合,則$g_{S'} += 2^{h_S} −1$,最後再給每個$g_S$加上空集就行。

如何計算$h_S$?如果$S$中沒有$2$,則可以直接算出來，否則我們隨便找一個$2$,將這個$2$分別變成$0/1$得到$S'$,$S′′$,$h_S = h_{S′} + h_{S′′}$,按照$0 + 1$的個數從小往大枚舉就 行，兩步的複雜度都是$O(3^M)$,總複雜度爲$O(3^M + NM)$

代碼

#include<bits/stdc++.h>
#define N 300005
#define Mo 998244353
using namespace std;
 
int f[15000005],n,pw3[N],pw2[N],g[1<<15],m,size[N],Cas;
 
char c[N];
 
void dfs(int u,int _2,int _3,int _4)
{
	if (u==m)
	{
		if (_4!=-1)
			f[_3]=f[_3-pw3[m-1-_4]]+f[_3-2*pw3[m-1-_4]];
		(g[_2]+=pw2[f[_3]]-1)%=Mo;
	}
	else
	{
		dfs(u+1,(_2<<1)+1,_3*3,_4);
		dfs(u+1,(_2<<1)+1,_3*3+1,_4);
		dfs(u+1,(_2<<1),_3*3+2,u);
	}
}
 
int main()
{
	pw2[0]=1; 
	for(int i=1; i<N;++i) pw2[i]=pw2[i-1]*2%Mo;
	for(int i=1; i<(1<<15);++i) size[i]=size[i/2]+(i&1); 
	pw3[0]=1; 
	for(int i=1; i<20;++i) pw3[i]=pw3[i-1]*3;
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1; i<=n;++i)
	{
		scanf("%s",c); int tmp=0;
		for(int j=0;j<m;++j)  tmp=tmp*3+(c[j]=='1');
		f[tmp]++;
	}
	dfs(0,0,0,-1); int yjy=0;
	for(int i=0; i<(1<<m);++i) (g[i]+=1)%=Mo;
	for(int i=1; i<(1<<m);++i)
	{
		int tmp=0;
		for(int j=i;;j=(j-1)&i)
		{
			if (size[j]&1) tmp=(tmp-g[j]+Mo)%Mo;
			else tmp=(tmp+g[j])%Mo;
			if (!j) break;
		}
		yjy^=tmp;
	}
	printf("%d\n",yjy);
}