題目
Description
老虎和蒜頭是好朋友。
老虎最近獲得了一棵 n 個節點的樹，其中 1 號點爲根，第 i 條邊有權 wi，連接節點 i 的父節點 pi和 i，其中 pi < i。可以注意到這棵樹可以用 pi 和 wi 組成的 2n-2 個數的序列來表示。
然而，由於疏忽，老虎遺失了這棵樹，他所擁有的 pi 和 wi 的序列也被打亂了，因此老虎所剩下的只有一個包含 2n-2 個數的可重集合。不過，老虎還是希望能夠從這樣的集合中獲得一些信息，例如從節點 n 到根節點可能的最長距離是多少？這裏的距離定義爲從 n 到 1 的邊的邊權和。
這個問題對於蒜頭來說太簡單了。爲了加大一點難度，蒜頭想要知道對於所有 1 ≤ k < n，當 n 號點與 1 號點之間恰有 k 條邊時，可能的最長距離的值。
Input
輸入的第一行包括一個正整數 n，表示樹中的節點個數。
接下來一行包括 2n-2 個數，表示老虎所擁有的集合。
Output
輸出共包括一行 n-1 個數，其中的第 i 個數表示在 n 號點與 1 號點之間恰有 i 條邊的可能距離的最長距離的值。如果不存在恰有 i 條邊的方案，第 i 個輸出的數應爲-1。
Sample Input
Sample Input1
3
1 1 2 2
Sample Input2
3
2 2 2 2
Sample Input3
6
1 4 5 4 4 4 3 4 4 2
Sample Output
Sample Output1
2 3
Sample Output2
-1 -1
Sample Output3
-1 -1 -1 17 20
在樣例一中，有三棵合法的樹，答案是顯然的。
在樣例二中，顯然不存在任意一棵合法的樹。
Data Constraint
對於 100% 的數據，1 ≤ n ≤ 10^5，集合中的數是 [1, n) 之間的整數。
Subtask 1 (25 %): 1 ≤ n ≤ 8.
Subtask 2 (10 %): 1 ≤ n ≤ 20.
Subtask 3 (25 %): 1 ≤ n ≤ 300.
Subtask 4 (15 %): 1 ≤ n ≤ 2000.
Subtask 5 (25 %): 無特殊限制。
思路
首先將所有數排序，顯然如果我們確定了一棵樹，那麼邊權就是
此時剩下的最大的 d 個值。
對於 1 ≤ k < n，如果不超過 k 的數的個數小於 k 個，顯然 2 到
k + 1 的父節點是無法分配的，不存在任意一棵滿足條件的數；
如果不超過 k 的數的個數恰爲 k 個，那麼 2 到 k + 1 的父節點一
定恰爲這 k 個數，並且 k + 1 一定出現在 n 到 1 的路徑中。考慮
求出這樣的每一個極小段 [l,r] 滿足這一段中的父節點集合是確
定的，那麼這一段中 r 到 l − 1 的路徑長度會在一個區間內，並
且只有這個長度會影響答案。
顯然，如果 [l,r] 中有 s 種不同的數，路徑長度可以在 [1, s] 中任
意選擇。這是因爲我們可以通過父節點欽定從 r 到 l − 1 的任意
一條路徑並使得仍然存在合法的樹，否則 [l,r] 中一定包含了另
一個這樣的段。
有了以上的分析，其餘的部分就比較顯然了。假設最後的一個極
小段是 [s,t]，我們可以通過父節點欽定任意一條從 n 到 t 的路
徑，由於目前沒有確定的段，此時我們將剩下的最小的那些數依
次填進餘下的路徑中，就會得到一棵合法的樹。
因此只要使用堆維護我們將哪些權值作爲路徑上邊即可，時間復
雜度 O(n log n)。