整理：数据结构与算法之二叉树

1、概述

通过前面的学习，我们知道，

有序数组可以利用二分查找法快速的查找特定的值，时间复杂度为O(log2N)，但是插入数据时很慢，时间复杂度为O(N)；

链表的插入和删除速度都很快，时间复杂度为O(1)，但是查找特定值很慢，时间复杂度为O(N)。

那么，有没有一种数据结构既能像有序数组那样快速的查找数据，又能像链表那样快速的插入数据呢？

树就能满足这种要求，不过依然是以算法的复杂度为代价。

在编程的世界里，有一个真理叫“复杂度守恒定律”（当然，这是我杜撰的），一个程序当它降低了一个方面的复杂度，必然会在其他方面增加复杂度。这就跟谈恋爱一样，也没有无缘无故的爱，没有无缘无故的恨，当你跟程序谈恋爱时，没有无缘无故的易用性，也没有无缘无故的复杂度。

我们先从广义上来讨论一下树的概念。

下面是一个普通的非二叉树：

 

在程序中，节点一般用来表示实体，也就是数据结构里存储的那些数据项，在java这样的面向对象的编程语言中，常用节点来表示对象。
节点间的边表示关联节点间的路径，沿着路径，从一个节点到另一个节点很容易，也很快，在树中，从一个节点到另一个节点的唯一方法就是顺着边前进。java语言中，常用引用来表示边（C/C++中一般使用指针）。

树的顶层总是只有一个节点，它通过边连接到第二层的多个节点，然后第二层也可以通过边连接到第三层，以此类推。所以树的顶部小，底部大，呈倒金字塔型，这和现实世界中的树是相反的。

如果树的每个节点最多有两个子节点，则称为二叉树。如果节点的子节点可以多余两个，称为多路树。

有很多关于树的术语，在这里不做过多的文字解释，下面给出一个图例，通过它可以直观地理解树的路径、根、父节点、子节点、叶节点、子树、层等概念。

 

需要注意的是，从树的根到任意节点有且只有一条路径可以到达，下图所示就不是一棵树，它违背了这一原则：

 

2、二叉搜索树

我们从一种特殊的、使用很广泛的二叉树入手：二叉搜索树。

二叉搜索树的特点是，一个节点的左子节点的关键字值小于这个节点，右子节点的关键字值大于或等于这个父节点。

下图就是一个二叉搜索树的示例：

 

关于树，还有一个平衡树与非平衡树的概念。非平衡就是说树的大部分节点在根的一边，如下图所示：

 

树的不平衡是由数据项插入的顺序造成的。如果关键字是随机插入的，树会更趋向于平衡，如果插入顺序是升序或者降序，则所有的值都是右子节点或左子节点，这样生成的树就会不平衡了，非平衡树的效率会严重退化。

接下来我们就用java语言实现一个二叉搜索树，并给出查找、插入、遍历、删除节点的方法。

首先要有一个封装节点的类，这个类包含节点的数据以及它的左子节点和右子节点的引用。

 

//树节点的封装类
public class Node {
    int age;
    String name;
    Node leftChild;  //左子节点的引用
    Node rightChild; //右子节点的引用
    
    public Node(int age,String name){
        this.age = age;
        this.name = name;
    }
    
    //打印该节点的信息
    public void displayNode(){
        System.out.println("name:"+name+",age:"+age);
    }
}

以上age，name两个属性用来代表该节点存储的信息，更好的方法是将这些属性封装成一个对象，例如：

 

Person{
    private int age;
    private String name;

    public void setAge(int age){
        this.age = age;
    }

    public int getAge(){
        return this.age;
    }

    public void setName(String name){
        this.name = name;
    }

    public String getName(){
        return this.name;
    }

}

这样做才更符合“面向对象”的编程思想。不过现在我们的重点是数据结构而非编程思想，所以在程序中简化了。

由于树的结构和算法相对复杂，我们先逐步分析一下查找、插入等操作的思路，然后再写出整个的java类。

2.1 查找

我们已经知道，二叉搜索树的特点是左子节点小于父节点，右子节点大于或等于父节点。查找某个节点时，先从根节点入手，如果该元素值小于根节点，则转向左子节点，否则转向右子节点，以此类推，直到找到该节点，或者到最后一个叶子节点依然没有找到，则证明树中没有该节点。

比如我们要在树中查找57，执行的搜索路线如下图所示：

 

2.2 插入

插入一个新节点首先要确定插入的位置，这个过程类似于查找一个不存在的节点。如下图所示：

 

找到要插入的位置之后，将父节点的左子节点或者右子节点指向新节点即可

2.3 遍历

遍历的意思是根据一种特定顺序访问树的每一个节点。

有三种简单的方法遍历树：

• 前序遍历
• 中序遍历
• 后序遍历

二叉搜索树最常用的方法是中序遍历，中序遍历二叉搜索树会使所有的节点按关键字升序被访问到。

遍历树最简单的方法是递归。用该方法时，只需要做三件事（初始化时这个节点是根）：

• 调用自身来遍历节点的左子树
• 访问这个节点
• 调用自身来遍历节点的右子树

遍历可以应用于任何二叉树，而不只是二叉搜索树。遍历的节点并不关心节点的关键字值，它只看这个节点是否有子节点
下图展示了中序遍历的过程：

 

对于每个节点来说，都是先访问它的左子节点，然后访问自己，然后在访问右子节点。

如果是前序遍历呢？就是先访问父节点，然后左子节点，最后右子节点；同理，后序遍历就是先访问左子节点，在访问右子节点，最后访问父节点。所谓的前序、中序、后序是针对父节点的访问顺序而言的。

A：根节点、B：左节点、C：右节点，

前序顺序是ABC（根节点排最先，然后同级先左后右）；

中序顺序是BAC(先左后根最后右）；

后序顺序是BCA（先左后右最后根）

2.4 查找最值

在二叉搜索树中，查找最大值、最小是是很容易实现的，从根循环访问左子节点，直到该节点没有左子节点为止，该节点就是最小值；从根循环访问右子节点，直到该节点没有右子节点为止，该节点就是最大值。

下图就展示了查找最小值的过程：

 

2.5 删除节点

树的删除节点操作是最复杂的一项操作。该操作需要考虑三种情况考虑：

• 该节点没有子节点
• 该节点有一个子节点
• 该节点有两个子节点

第一种没有子节点的情况很简单，只需将父节点指向它的引用设置为null即可：

 

第二种情况也不是很难，这个节点有两个连接需要处理：父节点指向它的引用和它指向子节点的引用。无论要删除的节点下面有多复杂的子树，只需要将它的子树上移：

 

还有一种特殊情况需要考虑，就是要删除的是根节点，这时就需要把它唯一的子节点设置成根节点。

下面来看最复杂的第三种情况：要删除的节点有两个子节点。显然，这时候不能简单地将子节点上移，因为该节点有两个节点，右子节点上移之后，该右子节点的左子节点和右子节点又怎么安排呢？

 

这是应该想起，二叉搜索树是按照关键升序排列，对每一个关键字来说，比它关键字值高的节点是它的中序后继，简称后继。删除有两个子节点的节点，应该用它的中序后继来替代该节点。

 

上图中，我们先列出中序遍历的顺序：

5 15 20 25 30 35 40

可以看到，25的后继是35，所以应该用30来替代25的位置。实际上就是找到比欲删除节点的关键字值大的集合中的最小值。从树的结构上来说，就是从欲删除节点的右子节点开始，依次跳到下一层的左子节点，直到该左子节点没有左子节点为止。下图就是找后继节点的示例：

 

从上图中可以看到，后继结点有两种情况：一种是欲删除节点的右子节点没有左子节点，那么它本身就是后继节点，此时，只需要将以此后继节点为根的子树移到欲删除节点的位置：

 

另一种情况是欲删除节点的右子节点有左子节点，这种情况就比较复杂，下面来逐步分析。首先应该意识到，后继节点是肯定没有左子节点的，但是可能会有右子节点。

 

上图中，75为欲删除节点，77为它的后继节点，树变化的步骤如下：

• 把87的左子节点设置为79；
• 把77的右子节点设为以87为根的子树；
• 把50的右子节点设置为以77为根的子树；
• 把77的左子节点设置为62

到此为止，删除操作终于分析完毕，包含了所有可能出现的情况。可见，二叉树的删除是一件非常棘手的工作，那么我们就该反思了，删除是必须要做的任务吗？有没有一种方法避开这种烦人的操作？有困难要上，没有困难创造困难也要上的二货精神是不能提倡的。

节点逻辑删除：

在删除操作不是很多的情况下，可以在节点类中增加一个布尔字段，来作为该节点是否已删除的标志。在进行其他操作，比如查找时，之前对该节点是否已删除进行判断。这种思路有点逃避责任，但是在很多时候还是很管用的。本例中为了更好的深入理解二叉树，会采用原始的、复杂的删除方法。

3、实例

下面我们就根据上面的分析，写出一个完整的二叉搜索树类，该类中，如果有重复值，插入到右子节点，查找时也只返回第一个找到的节点。

 

import java.util.ArrayList;
import java.util.List;

//二叉搜索树的封装类
public class BinaryTree {
    private Node root;  //根节点
    
    public BinaryTree(){
        root = null;
    }
    
    //按关键字查找节点
    public Node find(int key){
        Node cur = root;  //从根节点开始查找
        
        if(cur == null){  //如果树为空，直接返回null
            return null;
        }
        
        while(cur.age != key){
            if(key < cur.age){ 
                cur = cur.leftChild;  //如果关键字比当前节点小，转向左子节点
            }else{
                cur = cur.leftChild;  //如果关键字比当前节点大，转向右子节点
            }
            
            if(cur == null){  //没有找到结果，搜索结束
                return null;
            }
        }
        return cur;
    }
    
    //插入新节点
    public void insert(Node node){
        if(root == null){
            root = node;  //如果树为空，则新插入的节点为根节点
        }else{
            Node cur = root;  
            
            while(true){  
                if(node.age < cur.age){
                    if(cur.leftChild == null){  //找到了要插入节点的父节点
                        cur.leftChild = node;
                        return;
                    }
                    cur = cur.leftChild;
                }else{
                    if(cur.rightChild == null){  //找到了要插入节点的父节点
                        cur.rightChild = node;
                        return;
                    }
                    cur = cur.rightChild;
                }
            }
        }
    }
    
    //删除指定节点
    public boolean delete(Node node){
        if(root == null){
            return false;  //如果为空树，直接返回false
        }
        
        boolean isLeftChild = true;  //记录目标节点是否为父节点的左子节点
        Node cur= root;  //要删除的节点
        Node parent = null; //要删除节点的父节点
        
        while(cur.age != node.age){  //确定要删除节点和它的父节点
            parent = cur;
            if(node.age < cur.age){  //目标节点小于当前节点，跳转左子节点
                cur = cur.leftChild;
            }else{//目标节点大于当前节点，跳转右子节点
                isLeftChild = false;
                cur = cur.rightChild;
            }
            if(cur == null){
                return false;  //没有找到要删除的节点
            }
        }
    
        if(cur.leftChild == null && cur.rightChild == null){  //目标节点为叶子节点（无子节点）
            if(cur == root){  //要删除的为根节点
                root = null;
            }else if(isLeftChild){ 
                //要删除的不是根节点，则该节点肯定有父节点，该节点删除后，需要将父节点指向它的引用置空
                parent.leftChild = null;
            }else{
                parent.rightChild = null;
            }
        }else if(cur.leftChild == null){  //只有一个右子节点
            if(cur == root){
                root = cur.rightChild;
            }else if(isLeftChild){
                parent.leftChild = cur.rightChild;
            }else{
                parent.rightChild = cur.rightChild;
            }
        }else if(cur.rightChild == null){  //只有一个左子节点
            if(cur == root){
                root = cur.leftChild;
            }else if(isLeftChild){
                parent.leftChild = cur.leftChild;
            }else{
                parent.rightChild = cur.leftChild;
            }
        }else{  //有两个子节点
            //第一步要找到欲删除节点的后继节点
            Node successor = cur.rightChild;  
            Node successorParent = null;
            while(successor.leftChild != null){
                successorParent = successor;
                successor = successor.leftChild;
            }
            //欲删除节点的右子节点就是它的后继，证明该后继无左子节点，则将以后继节点为根的子树上移即可
            if(successorParent == null){  
                if(cur == root){  //要删除的为根节点，则将后继设置为根，且根的左子节点设置为欲删除节点的做左子节点
                    root = successor;
                    root.leftChild = cur.leftChild;
                }else if(isLeftChild){ 
                    parent.leftChild = successor;
                    successor.leftChild = cur.leftChild;
                }else{
                    parent.rightChild = successor;
                    successor.leftChild = cur.leftChild;
                }
            }else{ //欲删除节点的后继不是它的右子节点
                successorParent.leftChild = successor.rightChild;
                successor.rightChild = cur.rightChild;
                if(cur == root){  
                    root = successor;
                    root.leftChild = cur.leftChild;
                }else if(isLeftChild){ 
                    parent.leftChild = successor;
                    successor.leftChild = cur.leftChild;
                }else{
                    parent.rightChild = successor;
                    successor.leftChild = cur.leftChild;
                }
            }
        }
        
        return true;
    }
    
    public static final int PREORDER = 1;   //前序遍历
    public static final int INORDER = 2;    //中序遍历
    public static final int POSTORDER = 3;  //中序遍历
    
    //遍历
    public void traverse(int type){
        switch(type){
        case 1:
            System.out.print("前序遍历：\t");
            preorder(root);
            System.out.println();
            break;
        case 2:
            System.out.print("中序遍历：\t");
            inorder(root);
            System.out.println();
            break;
        case 3:
            System.out.print("后序遍历：\t");
            postorder(root);
            System.out.println();
            break;
        }
    }
    
    //前序遍历
    public void preorder(Node currentRoot){
        if(currentRoot != null){
            System.out.print(currentRoot.age+"\t");
            preorder(currentRoot.leftChild);
            preorder(currentRoot.rightChild);
        }
    }
    
    //中序遍历，这三种遍历都用了迭代的思想
    public void inorder(Node currentRoot){
        if(currentRoot != null){
            inorder(currentRoot.leftChild);  //先对当前节点的左子树对进行中序遍历
            System.out.print(currentRoot.age+"\t"); //然后访问当前节点
            inorder(currentRoot.rightChild);  //最后对当前节点的右子树对进行中序遍历
        }
    }
    
    //后序遍历
    public void postorder(Node currentRoot){
        if(currentRoot != null){
            postorder(currentRoot.leftChild);
            postorder(currentRoot.rightChild);
            System.out.print(currentRoot.age+"\t");
        }
    }
    
    //私有方法，用迭代方法来获取左子树和右子树的最大深度，返回两者最大值
    private int getDepth(Node currentNode,int initDeep){
        int deep = initDeep;  //当前节点已到达的深度
        int leftDeep = initDeep;
        int rightDeep = initDeep;
        if(currentNode.leftChild != null){  //计算当前节点左子树的最大深度
            leftDeep = getDepth(currentNode.leftChild, deep+1);
        }
        if(currentNode.rightChild != null){  //计算当前节点右子树的最大深度
            rightDeep = getDepth(currentNode.rightChild, deep+1);
        }
        
        return Math.max(leftDeep, rightDeep);
    }
    
    //获取树的深度
    public int getTreeDepth(){
        if(root == null){
            return 0;
        }
        return getDepth(root,1);
    }
    
    //返回关键值最大的节点
    public Node getMax(){
        if(isEmpty()){
            return null;
        }
        Node cur = root;
        while(cur.rightChild != null){
            cur = cur.rightChild;
        }
        return cur;
    }
    
    //返回关键值最小的节点
    public Node getMin(){
        if(isEmpty()){
            return null;
        }
        Node cur = root;
        while(cur.leftChild != null){
            cur = cur.leftChild;
        }
        return cur;
    }
    
    //以树的形式打印出该树
    public void displayTree(){
        int depth = getTreeDepth();
        ArrayList<Node> currentLayerNodes = new ArrayList<Node> ();
        currentLayerNodes.add(root);  //存储该层所有节点
        int layerIndex = 1;
        while(layerIndex <= depth){
            int NodeBlankNum = (int)Math.pow(2, depth-layerIndex)-1;  //在节点之前和之后应该打印几个空位
            for(int i = 0;i<currentLayerNodes.size();i++){
                Node node = currentLayerNodes.get(i);
                printBlank(NodeBlankNum);   //打印节点之前的空位
                
                if(node == null){
                    System.out.print("*\t");  //如果该节点为null，用空位代替
                }else{
                    System.out.print("*  "+node.age+"\t");  //打印该节点
                }
                
                printBlank(NodeBlankNum);  //打印节点之后的空位
                System.out.print("*\t");   //补齐空位
            }
            System.out.println();
            layerIndex++;
            currentLayerNodes = getAllNodeOfThisLayer(currentLayerNodes);  //获取下一层所有的节点
        }
    }
    
    //获取指定节点集合的所有子节点
    private ArrayList getAllNodeOfThisLayer(List parentNodes){
        ArrayList list = new ArrayList<Node>();
        Node parentNode;
        for(int i=0;i<parentNodes.size();i++){
            parentNode = (Node)parentNodes.get(i);
            if(parentNode != null){  
                if(parentNode.leftChild != null){  //如果上层的父节点存在左子节点，加入集合
                    list.add(parentNode.leftChild);
                }else{
                    list.add(null);  //如果上层的父节点不存在左子节点，用null代替，一样加入集合
                }
                if(parentNode.rightChild != null){
                    list.add(parentNode.rightChild);
                }else{
                    list.add(null);
                }
            }else{  //如果上层父节点不存在，用两个null占位，代表左右子节点
                list.add(null);
                list.add(null);
            }
        }
        return list;
    }
    
    //打印指定个数的空位
    private void printBlank(int num){
        for(int i=0;i<num;i++){
            System.out.print("*\t");
        }
    }
    
    //判空
    public boolean isEmpty(){
        return (root == null);
    }
    
    //判断是否为叶子节点
    public boolean isLeaf(Node node){
        return (node.leftChild != null || node.rightChild != null);
    }
    
    //获取根节点
    public Node getRoot(){
        return root;
    }
    
}

displayTree方法按照树的形状打印该树。对一颗深度为3的二叉树的打印效果如下图所示：

作者：冰河winner
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来源：简书
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