圖像腐蝕、膨脹、細化
這三個內容屬於數學形態學(Mathematical Morphology)，它是法國和德國的科學家在研究岩石結構時建立的一門學科。形態學的用途主要是獲取物體拓撲和結構信息，它通過物體和結構元素相互作用的某些運算，得到物體更本質的形態。在圖象處理中的應用主要是：(1)利用形態學的基本運算，對圖象進行觀察和處理，從而達到改善圖象質量的目的；(2)描述和定義圖象的各種幾何參數和特徵，如面積、周長、連通度、顆粒度、骨架和方向性等。這裏介紹二值圖象的形態學運算，對於灰度圖象的形態學運算。
先來定義一些基本符號和關係。
1. 元素
設有一幅圖象X，若點a在X的區域以內，則稱a爲X的元素，記作a∈X，如圖6.1所示。
2. B包含於X
設有兩幅圖象B，X。對於B中所有的元素ai，都有ai∈X，則稱B包含於(included in)X，記作BX，如圖6.2所示。
3. B擊中X
設有兩幅圖象B，X。若存在這樣一個點，它即是B的元素，又是X的元素，則稱B擊中(hit)X，記作B↑X，如圖6.3所示。
4. B不擊中X
設有兩幅圖象B，X。若不存在任何一個點，它即是B的元素，又是X的元素，即B和X的交集是空，則稱B不擊中(miss)X，記作B∩X=Ф；其中∩是集合運算相交的符號，Ф表示空集。如圖6.4所示。
|
|
|
|
|
|
5. 補集
設有一幅圖象X，所有X區域以外的點構成的集合稱爲X的補集，記作Xc，如圖6.5所示。顯然，如果B∩X=Ф，則B在X的補集內，即BXc。
6. 結構元素
設有兩幅圖象B，X。若X是被處理的對象，而B是用來處理X的，則稱B爲結構元素(structure element)，又被形象地稱做刷子。結構元素通常都是一些比較小的圖象。
7. 對稱集
設有一幅圖象B，將B中所有元素的座標取反，即令(x，y)變成(-x，-y)，所有這些點構成的新的集合稱爲B的對稱集，記作Bv，如圖6.6所示。
8. 平移
設有一幅圖象B，有一個點a(x0,y0)，將B平移a後的結果是，把B中所有元素的橫座標加x0，縱座標加y0，即令(x，y)變成(x+x0，y+y0)，所有這些點構成的新的集合稱爲B的平移，記作Ba，如圖6.7所示。
|
|
|
好了，介紹了這麼多基本符號和關係，現在讓我們應用這些符號和關係，看一下形態學的基本運算。
腐蝕
把結構元素B平移a後得到Ba，若Ba包含於X，我們記下這個a點，所有滿足上述條件的a點組成的集合稱做X被B腐蝕(Erosion)的結果。用公式表示爲：E(X)={a| Ba X}=X B，如圖6.8所示。
圖6.8中X是被處理的對象，B是結構元素。不難知道，對於任意一個在陰影部分的點a，Ba包含於X，所以X被B腐蝕的結果就是那個陰影部分。陰影部分在X的範圍之內，且比X小，就象X被剝掉了一層似的，這就是爲什麼叫腐蝕的原因。
值得注意的是，上面的B是對稱的，即B的對稱集Bv=B，所以X被B腐蝕的結果和X被 Bv腐蝕的結果是一樣的。如果B不是對稱的，讓我們看看圖6.9，就會發現X被B腐蝕的結果和X被 Bv腐蝕的結果不同。
圖6.8和圖6.9都是示意圖，讓我們來看看實際上是怎樣進行腐蝕運算的。
在圖6.10中，左邊是被處理的圖象X(二值圖象，我們針對的是黑點)，中間是結構元素B，那個標有origin的點是中心點，即當前處理元素的位置，我們在介紹模板操作時也有過類似的概念。腐蝕的方法是，拿B的中心點和X上的點一個一個地對比，如果B上的所有點都在X的範圍內，則該點保留，否則將該點去掉；右邊是腐蝕後的結果。可以看出，它仍在原來X的範圍內，且比X包含的點要少，就象X被腐蝕掉了一層。
圖6.10 腐蝕運算
圖6.11爲原圖，圖6.12爲腐蝕後的結果圖，能夠很明顯地看出腐蝕的效果。
膨脹
膨脹(dilation)可以看做是腐蝕的對偶運算，其定義是：把結構元素B平移a後得到Ba，若Ba擊中X，我們記下這個a點。所有滿足上述條件的a點組成的集合稱做X被B膨脹的結果。用公式表示爲：D(X)={a | Ba↑X}=X B，如圖6.13所示。圖6.13中X是被處理的對象，B是結構元素，不難知道，對於任意一個在陰影部分的點a，Ba擊中X，所以X被B膨脹的結果就是那個陰影部分。陰影部分包括X的所有範圍，就象X膨脹了一圈似的，這就是爲什麼叫膨脹的原因。
同樣，如果B不是對稱的，X被B膨脹的結果和X被 Bv膨脹的結果不同。
讓我們來看看實際上是怎樣進行膨脹運算的。在圖6.14中，左邊是被處理的圖象X(二值圖象，我們針對的是黑點)，中間是結構元素B。膨脹的方法是，拿B的中心點和X上的點及X周圍的點一個一個地對，如果B上有一個點落在X的範圍內，則該點就爲黑；右邊是膨脹後的結果。可以看出，它包括X的所有範圍，就象X膨脹了一圈似的。
細化
細化(thinning)算法有很多，這裏介紹一種簡單而且效果很好的算法，用它就能夠實現從文本抽取骨架的功能。我們的對象是白紙黑字的文本，但在程序中爲了處理的方便，還是採用256級灰度圖，不過只用到了調色板中0和255兩項。
所謂細化，就是從原來的圖中去掉一些點，但仍要保持原來的形狀。實際上，是保持原圖的骨架。所謂骨架，可以理解爲圖象的中軸，例如一個長方形的骨架是它的長方向上的中軸線；正方形的骨架是它的中心點；圓的骨架是它的圓心，直線的骨架是它自身，孤立點的骨架也是自身。文本的骨架嘛，前言中的例子顯示的很明白。那麼怎樣判斷一個點是否能去掉呢？顯然，要根據它的八個相鄰點的情況來判斷，我們給幾個例子(如圖6.22所示)。
圖6.22中，(1)不能刪，因爲它是個內部點，我們要求的是骨架，如果連內部點也刪了，骨架也會被掏空的；(2)不能刪，和(1)是同樣的道理；(3)可以刪，這樣的點不是骨架；(4)不能刪，因爲刪掉後，原來相連的部分斷開了；(5)可以刪，這樣的點不是骨架；(6)不能刪，因爲它是直線的端點，如果這樣的點刪了，那麼最後整個直線也被刪了，剩不下什麼；總結一下，有如下的判據：(1)內部點不能刪除；(2)孤立點不能刪除；(3)直線端點不能刪除；(4)如果P是邊界點，去掉P後，如果連通分量不增加，則P可以刪除。
我們可以根據上述的判據，事先做出一張表，從0到255共有256個元素，每個元素要麼是0，要麼是1。我們根據某點(當然是要處理的黑色點了)的八個相鄰點的情況查表，若表中的元素是1，則表示該點可刪，否則保留。
查表的方法是，設白點爲1，黑點爲0；左上方點對應一個8位數的第一位(最低位)，正上方點對應第二位，右上方點對應的第三位，左鄰點對應第四位，右鄰點對應第五位，左下方點對應第六位，正下方點對應第七位，右下方點對應的第八位，按這樣組成的8位數去查表即可。例如上面的例子中(1)對應表中的第0項，該項應該爲0；(2)對應37，該項應該爲0；(3)對應173，該項應該爲1；(4)對應231，該項應該爲0；(5)對應237，該項應該爲1；(6)對應254，該項應該爲0；(7)對應255，該項應該爲0。
這張表我已經替大家做好了，可花了我不少時間呢！
static int erasetable[256]={
0,0,1,1,0,0,1,1, 1,1,0,1,1,1,0,1,
1,1,0,0,1,1,1,1, 0,0,0,0,0,0,0,1,
0,0,1,1,0,0,1,1, 1,1,0,1,1,1,0,1,
1,1,0,0,1,1,1,1, 0,0,0,0,0,0,0,1,
1,1,0,0,1,1,0,0, 0,0,0,0,0,0,0,0,
0,0,0,0,0,0,0,0, 0,0,0,0,0,0,0,0,
1,1,0,0,1,1,0,0, 1,1,0,1,1,1,0,1,
0,0,0,0,0,0,0,0, 0,0,0,0,0,0,0,0,
0,0,1,1,0,0,1,1, 1,1,0,1,1,1,0,1,
1,1,0,0,1,1,1,1, 0,0,0,0,0,0,0,1,
0,0,1,1,0,0,1,1, 1,1,0,1,1,1,0,1,
1,1,0,0,1,1,1,1, 0,0,0,0,0,0,0,0,
1,1,0,0,1,1,0,0, 0,0,0,0,0,0,0,0,
1,1,0,0,1,1,1,1, 0,0,0,0,0,0,0,0,
1,1,0,0,1,1,0,0, 1,1,0,1,1,1,0,0,
1,1,0,0,1,1,1,0, 1,1,0,0,1,0,0,0
};
有了這張表，算法就很簡單了，每次對一行一行的將整個圖象掃描一遍，對於每個點(不包括邊界點)，計算它在表中對應的索引，若爲0，則保留，否則刪除該點。如果這次掃描沒有一個點被刪除，則循環結束，剩下的點就是骨架點，如果有點被刪除，則進行新的一輪掃描，如此反覆，直到沒有點被刪除爲止。
實際上，該算法有一些缺陷。舉個簡單的例子，有一個黑色矩形，如圖6.23所示。
圖6.23經過細化後，我們預期的結果是一條水平直線，且位於該黑色矩形的中心。實際的結果確實是一條水平直線，但不是位於黑色矩形的中心，而是最下面的一條邊。
爲什麼會這樣，我們來分析一下：在從上到下，從左到右的掃描過程中，我們遇到的第一個黑點就是黑色矩形的左上角點，經查表，該點可以刪。下一個點是它右邊的點，經查表，該點也可以刪，如此下去，整個一行被刪了。每一行都是同樣的情況，所以都被刪除了。到了最後一行時，黑色矩形已經變成了一條直線，最左邊的黑點不能刪，因爲它是直線的端點，它右邊的點也不能刪，因爲如果刪除，直線就斷了，如此下去，直到最右邊的點，也不能刪，因爲它是直線的右端點。所以最下面的一條邊保住了，但這並不是我們希望的結果。
解決的辦法是，在每一行水平掃描的過程中，先判斷每一點的左右鄰居，如果都是黑點，則該點不做處理。另外，如果某個黑點被刪除了，那麼跳過它的右鄰居，處理下一個點。這樣就避免了上述的問題。
|
|
|
解決了上面的問題，我們來看看處理後的結果，如圖6.24所示。這次變成一小段豎線了，還是不對，是不是很沮喪？彆着急，讓我們再來分析一下：在上面的算法中，我們遇到的第一個能刪除的點就是黑色矩形的左上角點；第二個是第一行的最右邊的點，即黑色矩形的右上角點；第三個是第二行的最左邊的點；第四個是第二行的最右邊的點；……；整個圖象處理這樣一次後，寬度減少2。每次都是如此，直到剩最中間一列，就不能再刪了。爲什麼會這樣呢？原因是這樣的處理過程只實現了水平細化，如果在每一次水平細化後，再進行一次垂直方向的細化(只要把上述過程的行列換一下)，就可以了。
這樣一來，每處理一次，刪除點的順序變成：(先是水平方向掃描)第一行最左邊的點；第一行最右邊的點；第二行最左邊的點；第二行最右邊的點；……最後一行最左邊的點；最後一行最右邊的點；(然後是垂直方向掃描)第二列最上邊的點(因爲第一列最上邊的點已被刪除)；第二列最下邊的點；第三列最上邊的點；第三列最下邊的點；……倒數第二列最上邊的點(因爲倒數第一列最上邊的點已被刪除)；倒數第二列最下邊的點。我們發現，剛好剝掉了一圈，這也正是細化要做的事。實際的結果也驗證了我們的想法。