概率論基礎知識總結

從五月十號以來就開始忙着實習的工作以及課設的事情，所以半個月來都沒又發博客了。最近在準備概率論的考試，所以總結了一些概率論基礎知識。我覺得我們還是有必要把概率論基礎給掌握的，筆試有時也會考到，面試中也有可能問到譬如選牌這類概率智力題。主要是理解古典概型和全概率、貝葉斯公式以及伯努利實驗。

一.概率論基本概念

1.什麼是概率論

現實世界中的現象分爲兩大類：分爲確定性的和隨機性現象；而概率論研究的是在隨機性的現象中的規律的預測和決策。

2.隨機試驗

隨機試驗指的是

1. 可以在相同的情況下重複進行
2. 試驗結果不會只有一種
3. 實驗之前不知道會出現哪個結果

3.樣本空間

隨機試驗的所有結果集合被稱爲樣本空間

4.事件運算關係

文氏圖：

例子：

5.事件運算律

二.概率與古典概型

1.概率的定義

2.概率性質

TIP:在非古典概率中，P(A)和P(B)是有可能發生衝突的，如下，所以需要有P(AB)這個排除

3.概率例題

4.古典概型【排列組合求解】

1.定義

1. 試驗的樣本空間是有限的
2. 每個樣本點出現的可能性是相同的

2.計算公式

3.例題

分房間問題/生日問題

5.幾何概型

1.定義

1. 樣本空間由無數樣本點組成，但是可以形成一個區域，該區域是可以度量的
2. 向樣本空間中投擲一個點，其在任意位置出現的概率都是等可能的

2.例題

三.條件概率

1.定義

例題

2.乘法定理

2.全概率公式

3.貝葉斯公式

例題

四.隨機變量與分佈函數

1.隨機變量定義

2.分佈函數定義

3.分佈函數的性質

例題

口袋中裝有3個白球和2個紅球，從中任取3個球，求取出的3個球中白球數的分佈函數

4.離散型隨機變量

例題

5.離散分佈模型

1.兩點分佈 & 0 - 1分佈

2.伯努利實驗 & 二項分佈

• 伯努利實驗
  伯努利實驗指的是在相同條件下重複進行實驗當數學模型，並且只有兩個可能的結果。

• n重伯努利實驗
  每次實驗中某事件A或者發生或不發生，進行n次實驗。例如每天的天氣只有下雨和不下雨，求n天中有一天下雨的概率；每次投籃可以中或不中，求n次投籃中有2次不中當概率等，都屬於n重伯努利實驗。

• 二項分佈

二項分佈即描述n重伯努利實驗的數學模型：

進行n次伯努利實驗，其中每次成功的概率爲p，如果要有k次成功的概率爲：

3. 泊松定理 & 泊松分佈

柏松定理解決的是大數據量情況下的不放回抽樣，且抽樣失敗概率很小時的問題，用以替代掉n重伯努利實驗的的二項分佈。

例題

6.連續分佈模型

1.定義

2.密度函數

3.密度函數性質

P{X = a} = 0,連續分佈情況下，在某個特定的點的概率爲0

分佈函數求導可得密度函數

例題

4.均勻分佈

性質

例題