宇宙狗的危机（区间dp）

问题描述

在瑞神大战宇宙射线中我们了解到了宇宙狗的厉害之处，虽然宇宙狗凶神恶煞，但是宇宙狗有一个很可爱的女朋友。

最近，他的女朋友得到了一些数，同时，她还很喜欢树，所以她打算把得到的数拼成一颗树。

这一天，她快拼完了，同时她和好友相约假期出去玩。贪吃的宇宙狗不小心把树的树枝都吃掉了。所以恐惧包围了宇宙狗，他现在要恢复整棵树，但是它只知道这棵树是一颗二叉搜索树，同时任意树边相连的两个节点的gcd(greatest common divisor)都超过1。

但是宇宙狗只会发射宇宙射线，他来请求你的帮助，问你能否帮他解决这个问题。

补充知识：

GCD：最大公约数，两个或多个整数共有约数中最大的一个 ，例如8和6的最大公约数是2。

一个简短的用辗转相除法求gcd的例子：

int gcd(int a,int b){return b == 0 ? a : gcd(b,a%b);}

Input

输入第一行一个t，表示数据组数。

对于每组数据，第一行输入一个n，表示数的个数

接下来一行有n个数​，输入保证是升序的。

Output

每组数据输出一行，如果能够造出来满足题目描述的树，输出Yes，否则输出No。

无行末空格。

Sample input & output

Sample input1

1
6
3 6 9 18 36 108

Sample output1

Yes

Sample input2

2
2
7 17
9
4 8 10 12 15 18 33 44 81

Sample output2

No
Yes

数据范围

提示

第一个样例可以构建下图所示的二叉搜索树

解题思路

这道题开始没想到用区间dp来做，想了一个自己认为“绝妙的方法”。利用栈来维护一条主链，方法就不说了，毕竟结果炸了。这个方法挺“绝命的”，样例全过，直接0分。

二叉搜索树具有明显的子结构特性，这个题虽然要构成一个二叉树，但是给出的是一个区间，因此这个题还是要用区间dp来做的，树的结构不能丢，我们定义两个数组：$l[i][j],r[i][j]$分别表示以$i$为根，向左到$j$可以作为$i$的左子树，向右到$j$可以作为$i$的右子树。树结构非常重要，虽然是区间dp，但是这个结果要构成一个二叉搜索树，因此必须有这两个数组。

然后用$dp[i][j]$表示$i\sim j$能构成一棵树。函数最后返回$dp[1][n]$。（我以前尝试过直接$dp[i][j]$表示$i\sim j$能构成一棵树，然后拼接用$dp[i][k],dp[k][j]$拼接，这样错的原因是，$dp[i][k]$能够构成一棵树，不一定表示左子树，$dp[k][j]$能够构成一棵树，不一定表示右子树，那么就不一定能拼接起来。2，3，5，30这样四个节点数据就可以卡死。）

当$l[k][i]==r[k][j]==true$时，$dp[i][j]=true$，此时$i\sim j$是以$k$为根的二叉搜索树。

状态转移是每次转移一个点，在$dp[i][j]=true$的情况下：
$l[j+1][i]\hspace{3pt}|=gcd(a[j+1],a[k]),(i\le k\le j)\\ \quad\\ r[i-1][j]\hspace{3pt}|=gcd(a[i-1],a[k]),(i\le k\le j)$
转移方程为什么这么写呢，先看第一个方程，首先这个时候我们已经保证了从$i$到$j$这段区间可以构成一棵二叉搜索树，并且根节点是$k$，注意这个根节点很重要。如果说$gcd(a[j+1],a[k])>1$了，那么二者之间就可以连边，并且注意$l$数组的定义：表示以$i$为根，向左到$j$可以作为$i$的左子树，那么$a[j+1]$的左儿子就是$a[k]$了。在枚举$k$的过程中，只要有一次可以连边，那么$l[j+1][i]=true$。所以中间使用的是$|=$符号。第二个方程同理。

完整代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <string>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int maxn=700+100;
int t,n,a[maxn];
bool dp[maxn][maxn],g[maxn][maxn],l[maxn][maxn],r[maxn][maxn];
int gcd(int _a,int _b) {return _b==0? _a: gcd(_b,_a%_b);}
void init(){
    memset(l,false,sizeof(l));
    memset(r,false,sizeof(r));
    memset(dp,false,sizeof(dp));
    for (int i=1; i<=n; i++) {
        l[i][i]=r[i][i]=dp[i][i]=true;
        for (int j=1; j<=n; j++)
            g[i][j]=gcd(a[i],a[j])>1;
    }
}
bool IsBinarySearchTree(){
    for (int len=1; len<=n; len++){
        for (int i=1; i<=n-len+1; i++){
            int j=i+len-1;
            for (int k=i; k<=j; k++){
                if(l[k][i] && r[k][j]){
                    dp[i][j]=true;
                    l[j+1][i]|=g[j+1][k];
                    r[i-1][j]|=g[i-1][k];
                }
            }
        }
    }
    return dp[1][n];
}
int main(){
    scanf("%d",&t);
    while(t--){
        scanf("%d",&n);
        for (int i=1; i<=n; i++) scanf("%d",&a[i]);
        init();
        if(IsBinarySearchTree()) printf("Yes\n");
        else printf("No\n");
    }
    return 0;
}