n以內的最多因子數的數 n=1e18

 

反素數

#define Y(i) i的因數的個數

我們把n稱爲反素數如果 Y(n)>Y(∀i)(i<n)Y(n)>Y(∀i)(i<n)
爲了讓n滿足這個式子,我們需要讓n的因子數多的前提儘量讓n小,讓n的因子分佈儘量密集

所以,有以下兩個結論 :

n的因子從小開始且儘可能的連續(2,3,5,7,11…)
如果可以讓一個因子多重複出現幾次，那麼一定會選擇小的因子
即如果n=2q1∗2q2∗2q3∗...n=2q1∗2q2∗2q3∗...，那麼q1>=q2>=q3...q1>=q2>=q3...
你會發現你遇到的題目和上面的那句話很相似

Y(i)=n，求min(i)
i<=n,求max(Y(i))
算法思路

n=pq11∗pq22...pqkkn=p1q1∗p2q2...pkqk 
n的因子數爲(q1+1)∗(q2+1)∗...∗(qk+1)(q1+1)∗(q2+1)∗...∗(qk+1)
假設現在求的是n個因數的最小數

建一棵樹,除root所在的層以外,每一層都由一個素數和其i次冪構成 

我們暴力跑一遍dfs,跑到一個節點就乘上一個結點上的數

跑的時候記錄的有 : 當前因子的個數 , 累乘後數的大小 , 跑了幾層(幾個素數)

因子的個數可以用上面註釋部分的公式來推,假設之前已經有jj個了,現在乘了ikik,因子數便是j∗(k+1)
 

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;

LL pri[16] = {2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53};

LL ans,n,MAXY;
    //求n以內因子最多的數,多個答案輸出小的
void dfs(LL Y,LL dep,LL num,LL limit){
        //因子數 深度 當前的數
    if(dep==16)return;
    //if(Y>=n)return;
    if(Y>MAXY)MAXY=Y,ans=num;
    if(Y==MAXY)ans=min(ans,num);

    for(int i=1;i<=limit;i++){
        //因爲後面的次數不會超過前面,所以這裏添加上限就是一個極大的剪枝
        if(n/pri[dep]<num)break;//保證不超過n
        dfs(Y*(i+1),dep+1,num*=pri[dep],i);
    }
}

int main(){
    int t;cin>>t;
    while(t--){
        scanf("%lld",&n);
        ans=1e18;
        MAXY=0;
        dfs(1,0,1,60);
        printf("%lld %lld\n",ans,MAXY);
    }
}