輾轉相除法——分別使用【循環結構】和【遞歸函數】求——兩個整數的最大公約數和最小公倍數

程序參考《高質量程序設計指南——C++/C語言》

一、最大公約數（英語：Greatest Commom Divisor，gcd），指能夠整除多個整數的最大正整數

而多個整數不能都爲零，例如【8和12】的最大公約數爲4。

輾轉相除法（來自維基百科）

相比素因數分解法，輾轉相除法的效率更高。計算 gcd(18,48) 時：

1. 先將48除以18得到商2、餘數12
2. 然後再將18除以12得到商1、餘數6
3. 再將12除以6得到商2、餘數0，即得到最大公因數6。

我們只關心每次除法的餘數是否爲0，爲0即表示得到答案。這一算法更正式的描述是這樣的：

其中

如果參數都大於0，那麼該算法可以寫成更簡單的形式：

,

 如果 a > b

 如果 b > a

 二、最小公倍數（Least Commom Multiple）

兩個或多個整數公有的倍數叫做它們的公倍數，其中除0以外最小的一個公倍數就叫做這幾個整數的最小公倍數。

• 8=2*2*2   12 = 2*2*3
• 所以最小公倍數 = 2*2*2*3（把兩者分解的都乘進去）
• 8和12的最小公倍數就是 24

注：最小公倍數 = 【8*12】除以【8和12的最大公約數】   8*12/4 = 8*3 = 24

三、遞歸求解

#include<stdio.h>
//求兩個整數a和b的最大公約數
unsigned long gcd_2(unsigned long a,unsigned long b)
{
	if(b==0){
		return a;
	}else{
		return gcd_2(b,a%b);
	}
} 

int main(void){
	unsigned long a,b;		//兩個整數
	unsigned long lcm=0;	//最小公倍數
	unsigned long gcd=0;	//最大公約數 
	while(1){
		printf("Please input two positive integers(spacebar as separator):");
		scanf("%lu %lu",&a,&b);
		if(a<=0 || b<=0){
			printf("Input Error!\n");
			continue;
		}else{
			break;
		}
	} 
	gcd = gcd_2(a,b);
	lcm = (a*b)/gcd;
	printf("Their Greatest Commom Divisor is %lu.\n",gcd);
	printf("Their Least Commom Multiple is %lu.\n",lcm);
	return 0;
}

四、循環結構求解

• 求最大公約數可用輾轉相除法
• 最小公倍數就是兩個整數的乘積除以其最大公約數

#include<stdio.h>
int main(void){
	unsigned long a,b,c=0;	
	unsigned long lcm=0;	//最小公倍數
	unsigned long gcd=0;	//最大公約數 
	while(1){
		printf("Please input two positive integers(spacebar as separator):");
		scanf("%lu %lu",&a,&b);
		if(a<=0 || b<=0){
			printf("Input Error!\n");
			continue;
		}else{
			break;
		}
	} 
	unsigned long ra = a, rb = b;	//保存原始數據
	
	//輾轉相除法
	while(a%b !=0){
		c = a%b;
		a = b;
		b = c;
	} 
	gcd = b;
	lcm = (ra*rb)/gcd;
	printf("Their Greatest Commom Divisor is %lu.\n",gcd);
	printf("Their Least Commom Multiple is %lu.\n",lcm);
	return 0;
}