高斯積分（概率積分）以及它與伽馬函數之間的關係

高斯積分（英語：Gaussian integral）

有時也被稱爲概率積分，是高斯函數（e−x2）在整個實數線上的積分。它是依德國數學家兼物理學家卡爾·弗里德里希·高斯之姓氏所命名。

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}dx={\sqrt {\pi }}}$
儘管誤差函數不存在初等函數，但可以通過Risch算法證明，高斯積分可以通過多元微積分方法分析求解。下面這個不定積分${\displaystyle \int e^{-x^{2}}\,dx,}$無法用初等函數表示，但可以計算定積分${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx}$
任意高斯函數的定積分爲${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-a(x+b)^{2}}\,dx={\sqrt {\frac {\pi }{a}}}.}$
在物理學中，經常用到高斯積分；而在量子場論中會用到許多該積分的推廣形式。

與Γ函數的關係

由於被積分的函數是一個偶函數，
$\int _{{-\infty }}^{{\infty }}e^{{-x^{2}}}dx=2\int _{0}^{\infty }e^{{-x^{2}}}dx$
通過替代變量它可以變成一個歐拉積分

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-t}\ t^{-{\frac {1}{2}}}dt\,=\,\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)}$
這裏${\displaystyle ~\Gamma }$是Γ函數。更廣義地，${\displaystyle b\int _{0}^{\infty }e^{-ax^{b}}dx=a^{-{\frac {1}{b}}}\,\Gamma \left({\frac {1}{b}}\right).}$

高斯函數的積分

任一高斯函數的積分都可以用以下的公式計算：

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-a(x+b)^{2}}\,dx={\sqrt {\frac {\pi }{a}}}}$
更爲一般的形式爲：

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-ax^{2}+bx+c}\,dx={\sqrt {\frac {\pi }{a}}}\,e^{{\frac {b^{2}}{4a}}+c}}$

這一公式在計算有關正態分佈的一些連續概率分佈的數學期望的時候特別有用，例如對數正態分佈。