nyoj42 一笔画问题（欧拉回路+并查集）

一笔画问题

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难度：4

描述

zyc从小就比较喜欢玩一些小游戏，其中就包括画一笔画，他想请你帮他写一个程序，判断一个图是否能够用一笔画下来。

规定，所有的边都只能画一次，不能重复画。

 

输入

第一行只有一个正整数N(N<=10)表示测试数据的组数。
每组测试数据的第一行有两个正整数P,Q(P<=1000,Q<=2000)，分别表示这个画中有多少个顶点和多少条连线。（点的编号从1到P）
随后的Q行，每行有两个正整数A,B(0<A,B<P)，表示编号为A和B的两点之间有连线。

输出

如果存在符合条件的连线，则输出"Yes",
如果不存在符合条件的连线，输出"No"。

样例输入

2
4 3
1 2
1 3
1 4
4 5
1 2
2 3
1 3
1 4
3 4

样例输出

No
Yes

先来介绍一下关于欧拉回路判定定理的知识点

定理以及推论：

无向图G 存在欧拉通路的充要条件是：
G 为连通图，并且G 仅有两个奇度结点（度数为奇数的顶点）或者无奇度结点。
推论5.1：
1) 当G 是仅有两个奇度结点的连通图时，G 的欧拉通路必以此两个结点为端点。
2) 当G 是无奇度结点的连通图时，G 必有欧拉回路。
3) G 为欧拉图（存在欧拉回路）的充分必要条件是G 为无奇度结点的连通图。


定理5.2


有向图D 存在欧拉通路的充要条件是：
D 为有向图，D 的基图连通，并且所有顶点的出度与入度都相等；或者除两个顶点外，其余
顶点的出度与入度都相等，而这两个顶点中一个顶点的出度与入度之差为1，另一个顶点的出度
与入度之差为-1。
推论5.2：
1) 当D 除出、入度之差为1，-1 的两个顶点之外，其余顶点的出度与入度都相等时，D 的
有向欧拉通路必以出、入度之差为1 的顶点作为始点，以出、入度之差为-1 的顶点作为
终点。
2) 当D 的所有顶点的出、入度都相等时，D 中存在有向欧拉回路。
3) 有向图D 为有向欧拉图的充分必要条件是D 的基图为连通图，并且所有顶点的出、入度
都相等。

看了上面的理论会发现这个题目很好理解 关于理论不懂得地方 自己可以手动画一下图就会一目了然了

关于并查集的介绍 ：http://blog.csdn.net/qq_33913037/article/details/71124106

了解了上面的知识过后 来分析下这个题目 

关于图的连通性用并查集来判断 当一个节点的父节点还是本身的话证明这个图不连通

判断图的连通性过后 根据出度和入度去判定是否存在欧拉回路

java代码 这个题目没用到并查集 不过也可以使用并查集去判断连通性

package bfs;

import java.util.Arrays;
import java.util.Scanner;

/**
 *
 */
public class Main42 {
    static int p,q;
    static int a[][]=new int[1000+10][1000+10];
    static int pd[]=new int[1000+10];
    static boolean vis[]=new boolean[1000+10];
    public static void main(String[] args) {
        Scanner scanner=new Scanner(System.in);
        int t=scanner.nextInt();
        while (t-->0){
            p=scanner.nextInt();
            q=scanner.nextInt();
            init();
            Arrays.fill(pd,0);
            for (int i=0;i<q;i++){
                int u=scanner.nextInt();
                int v=scanner.nextInt();
                a[u][v]=1;
                a[v][u]=1;
                pd[u]++;
                pd[v]++;
            }
            //判断是否是连通图
            Arrays.fill(vis,false);
            dfs(1);
            boolean flag=true;
            for (int i=1;i<=p;i++){
                if (!vis[i]){
                    flag=false;
                    break;
                }
            }
            int sum=0;
            for (int i=1;i<=p;i++){
                if (pd[i]%2==1){
                    sum++;
                }
            }
            if(sum!=0&&sum!=2){
                flag = false;
            }
            if(flag)
                System.out.println("Yes");
            else System.out.println("No");
        }
    }

    private static void dfs(int s) {
        vis[s]=true;
        for (int i=0;i<=p;i++){
            if (i!=s&&a[s][i]==1&&!vis[i]){
                dfs(i);
            }
        }
    }

    private static void init() {
        for (int i=0;i<1000+10;i++){
            for (int j=0;j<1000+10;j++){
                a[i][j]=0;
            }
        }
    }
}