探索 由一個自相似數列構成的二進制小數

問題來自羣友：

從1開始，二進制取反然後拼接到後面，重複這一操作，得到

1
10
1001
10010110
1001011001101001
10010110011010010110100110010110
1001011001101001011010011001011001101001100101101001011001101001
......

自然而然想到，從前面增加0.，這個小數會趨近怎樣一個數呢？

通項公式我沒想到好的方法寫出來，於是掏出麥醬：

RSolve[{
   a[1] == 1/2,
   a[n] == a[n - 1] + (1 - a[n - 1] - 2^-2^(n - 1))*2^-2^(n - 1)}
  , a[n], n] // FullSimplify

得到
$\left\{\left\{a_n\to \frac{1}{4} \left(\prod _{K[1]=1}^{n-1} 2^{-2^{K[1]}} \left(2^{2^{K[1]}}-1\right)\right) \left(4 \sum _{K[2]=0}^{n-1} \frac{2^{-2^{K[2]+1}} \left(2^{2^{K[2]}}-1\right)}{\prod _{K[1]=1}^{K[2]} 2^{-2^{K[1]}} \left(2^{2^{K[1]}}-1\right)}+1\right)\right\}\right\}$

……看這樣子應該是個超越數，我肯定算不出，不用算了，前200位：

0.58754596635989240221663863174154471691052162554423044242662058465120640763421741103619545951378786660374363355346186251257838287480639347986900318747408590610118831494175859485120507626316228231836793