回文自动机学习笔记

回文自动机学习笔记

由两棵子树构成

• 一棵节点编号为0，子树是长度为偶数的回文串
• 一棵节点编号为1，子树是长度为奇数的回文串

---

回文自动机

奇偶回文串处理

$len[0] = 0, len[1] = -1$使得在$1$号子树下的字符串长度$-1$

$fail[0] = 1$使得字符串最终能跳到$-1$，即本身为回文串

$fail[1] = 0$使得本身为回文串的情况，最小真后缀回文串为0成立

回文树节点

• 对于$0$号子树，路径上的字母表示回文串后半段
• 以$5$号节点为例，表示的是baab
• 对于$1$号子树，路径上的字母表示回文串后半段（包括中间字符）
• 以$2$号节点为例，表示的是$a$

此图片为$abbaabba$的回文树

建树

$in[0] = '~'$，为必定不相同的字符

$fail[]$：表示当前回文串的最长真后缀回文串

• 找到最新节点$last$，
• 寻找$last$代表回文串的前一个点：$in[i - len[last] - 1]$
• 与当前节点（$in[i]$）比较，若相当于在原回文串两边加上一个字符ch
• 创建新的节点且$len[tree[last][ch]] = len[last] + 2$
• 若当前回文串不匹配，跳$fail$指针寻找最长真后缀回文子串是否匹配
• 最终至少会跳到$fail[0] == -1$，字符本身必定为回文串

$fail$指针建立

寻找一个回文串的最长真后缀回文子串

相当于寻找$last$回文串的最长真后缀回文子串的匹配回文串

• 定义一个新变量$j$跳到$fail[last]$
• 如建树一样寻找匹配回文串即可
• 对于以自己为回文串的回文串$fail[1] = 0$，不然至少找到本身

---

代码

$in[]$：字符串

$tree[n][ch]$：字典树

$fail[]$：$fail$指针跳转到当前回文串的** 最长真后缀回文串**

$len[]$：当前回文串的长度

初始化

scanf("%s", in + 1); in[0] = '#';
//第一个为不同字符
fail[0] = 1; fail[1] = 0;
//保证最终跳到本身
len[0] = 0; len[1] = -1;
//易处理处理
last = 0;
//last最新节点置0
num = 1;
//字典树编号，已有2个节点：0，1

建树

for (int i = 1; i <= n; i++) {
	while (in[i - len[last] - 1] != in[i]) last = fail[last];
	//跳到第一个匹配的串
	if (!tree[last][in[i] - 'a']) {//若改字符串不存在
		len[++num] = len[last] + 2;//新的回文串为原回文串+2
		int j = fail[last];//当前串的最长真后缀回文串
		while (in[i - len[j] - 1] != in[i]) j = fail[j];
		//最长真后缀回文串的第一个匹配串
		fail[num] = tree[j][in[i] - 'a'];
		tree[last][in[i] - 'a'] = num;
		//字典树编号
	}
	last = tree[last][in[i] - 'a'];
	//更新last
}

模板题

P5496 回文自动机（PAM）

P4287 双倍回文

正反向建两个回文自动机