莫队学习笔记和题目集

莫队

莫队算法一般分为两类

• 莫队维护区间答案
• 维护区间内的数据结构
• 树上莫队，带修改莫队、二维莫队等等

---

普通莫队

• 将询问离线排序处理，使转移的次数尽量少
• 基于分块思想优化
  • 若在其 l 在同块，那么将其 r 作为排序关键字
  • 若 l 不在同块，就将 l 作为关键字排序

对于n与m同阶，一般可以设块长度为$\sqrt{n}$

复杂度

$l$ 的移动在一个$block$内，复杂度平摊为$O(m*block)$

$r$的移动对于同一个块的$l$最多移动 $n$ 次，复杂度平摊为$O(n*n/bolck)$

---

排序方式

常用

将序列分成 $\sqrt{n}*n$ 个长度为 $\sqrt{n}$ 的块，若左端点在同一个块内，则按右端点排序

（以左端点所在块为第一关键字，右端点为第二关键字）

struct Node{
	int left;
    int right;
	int id;			//左右端点和id
	friend bool operator <(const Node& a, const Node& b) {
		return (a.left / block == b.left / block ? 	//若在同一个块，右端点从小到大
                a.right < b.right : a.left < b.left);	//左端点从小到大
	}
}q[maxn];

奇偶性优化

指针移到右边后不用再跳回左边，而跳回左边后处理下一个块又要跳回右边

这样能减少一半操作，理论上能快一倍

struct Node{
	int left;
	int right;
	int id;
	friend bool operator <(const Node& a, const Node& b) {
		return belong[a.left] ^ belong[b.left] ? belong[a.left] < belong[b.left] :
        											//若两者分块不同，从小到打排序
			belong[a.left] & 1 ? a.right<b.right : a.right>b.right;
        	//按块的奇偶性，从左到有和从右到左
	}
}q[maxn];

分块大小分析

分块时块的大小不是固定的，要根据题目具体分析(往往自以为被卡常，其实分块不对)

分析的过程以下方的过程为例

我们设块长度为 $block $

那么对于任意多个在同一块内的询问，挪动的距离就是 $n$

$\frac{n}{block}$ 个块，移动的总次数就是 $\frac{n^2}{block}$

移动可能跨越块，所以还要加上一个 $m*block$ 的复杂度，总复杂度为 $O(\frac{n^2}{block}+m*block)$

我们要让这个值尽量小， $block$ 取 $\frac{n}{\sqrt{m}}$是最优的

复杂度为 $O(\frac{n^2}{\frac{n}{\sqrt{m}}}+m(\frac{n}{\sqrt{m}}))=O(n\sqrt{m})$

---

转移

for (int i = 1; i <= m; i++) {
		while (stdl > q[i].left) {
			stdl--;
			//operation 左端添加
		}
		while (stdr < q[i].right) {
			stdr++;
			//operation 右端添加
		}
		while (stdl < q[i].left) {
			//operation 左端删除
			stdl++;
		}
		while (stdr > q[i].right) {
			//operation 右端删除
			stdr--;
		}
		res[q[i].id] = ans;
	}

模板题

P1494 小Z的袜子

HDU 6534 Chika and Friendly Pairs

---

题意

称$abs(A[i]-A[j]) \leq k$

则称$A[i]$和$A[j]$为一对好数

给出$a[]$数组，$m$组询问

返回$l$到$r$区间内好数数量

思路

• 加入一个点，对答案产生的贡献为已知区间内好数的个数，可以树状数组求（下面讲）

  可以离线--------------->莫队

• 树状数组 + 离散化能够维护区间$x-k \leq val \leq x+k$的个数

  • 每次加入一个节点，即为单点修改
  • 对$a[]$排序后，然后对每个$a[i]$二分，$a[i]-k、a[i]+k$的区间，每次只要查询固定区间权值树状数组求和即可

  如此实现$log(n)$的修改查询

• 莫队维护左右转移

  $n,m$同阶，分块取$\sqrt{n}$即可

  随手再加个奇偶性优化

代码

树状数组

inline int lowbit(int x) {
	return x & -x;
}
void modify(int x, int val) {	//修改函数，1添加节点，-1删除节点
	while (x <= n) {
		tree[x] += val;
		x += lowbit(x);
	}
}
int query(int x) {	//求和函数
	int res = 0;
	while (x) {
		res += tree[x];
		x -= lowbit(x);
	}
	return res;
}

离散化

for (int i = 1; i <= n; i++) { 
		a[i].data = io.read();
		a[i].id = i;	
		p[i] = a[i];	//初始化权值
	}
	sort(p + 1, p + 1 + n);	//排序，离散化
	for (int i = 1; i <= n; i++)a[p[i].id].id = i;//返回每个数再权值数组中位置

二分预处理区间

void question(int id) {
	int x = a[id].data;
    //找到第一个大于等于x-k的数
	int left = 1, right = n, mid;		//初始化二分
	int stdl, stdr, limit = max(0, x - k);
	while (left <= right) {
		mid = (left + right) >> 1;
		if (p[mid].data >= limit)right = mid - 1, stdl = mid;
        //若符合条件，使val尽量小
		else left = mid + 1;
	}
    //找到最后一个小于x+k的数
	left = 1, right = n, limit = x + k;
	while (left <= right) {
		mid = (left + right) >> 1;
		if (p[mid].data <= limit)left = mid + 1, stdr = mid;
        //若符合条件，使val尽量大
		else right = mid - 1;
	}
	l[id] = stdl; r[id] = stdr;
}

莫队排序

struct Node{
	int left;
	int right;
	int id;
	friend bool operator <(const Node& a, const Node& b) {//奇偶性优化排序
		return belong[a.left] ^ belong[b.left] ? belong[a.left] < belong[b.left] :
			belong[a.left] & 1 ? a.right<b.right : a.right>b.right;
	}
}q[maxn]; 

莫队

for (int i = 1; i <= m; i++) {	//离线询问
		q[i].left = io.read();
		q[i].right = io.read();
		q[i].id = i;
	}
sort(q + 1, q + 1 + m);	//分块排序
int stdl = 1, stdr = 0; LL ans = 0;
for (int i = 1; i <= m; i++) {
	while (stdl > q[i].left) {
		stdl--;
		modify(a[stdl].id, 1);//添加左端点
		ans = ans + query(r[stdl]) - query(l[stdl] - 1) - 1;//增加好数
	}
	while (stdr < q[i].right) {
		stdr++;
		modify(a[stdr].id, 1);//添加右端点
		ans = ans + query(r[stdr]) - query(l[stdr] - 1) - 1;//增加好数
	}
	while (stdl < q[i].left) {
		ans = ans - (query(r[stdl]) - query(l[stdl] - 1) - 1);//删除好数
		modify(a[stdl].id, -1);//删除左端点
		stdl++;
	}
	while (stdr > q[i].right) {
		ans = ans - (query(r[stdr]) - query(l[stdr] - 1) - 1);//删除好数
		modify(a[stdr].id, -1);//删除右端点
		stdr--;
	}
	res[q[i].id] = ans;
}

AC

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cmath>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int maxn = 50005;
class QIO {
public:
	char buf[1 << 21], * p1 = buf, * p2 = buf;
	int getc() {
		return p1 == p2 && (p2 = (p1 = buf) + fread(buf, 1, 1 << 21, stdin), p1 == p2) ? EOF : *p1++;
	}
	int read() {
		int ret = 0, f = 0;
		char ch = getc();
		while (!isdigit(ch)) {
			if (ch == '-')
				f = 1;
			ch = getc();
		}
		while (isdigit(ch)) {
			ret = ret * 10 + ch - 48;
			ch = getc();
		}
		return f ? -ret : ret;
	}
} io;
int  n, k, m;
struct Data{
	int data;
	int id;
	friend bool operator <(const Data& a, const Data& b) {
		return a.data < b.data;
	}
}a[maxn], p[maxn];
int tree[maxn];
inline int lowbit(int x) {
	return x & -x;
}
void modify(int x, int val) {
	while (x <= n) {
		tree[x] += val;
		x += lowbit(x);
	}
}
int query(int x) {
	int res = 0;
	while (x) {
		res += tree[x];
		x -= lowbit(x);
	}
	return res;
}
int l[maxn], r[maxn];
void question(int id) {
	int x = a[id].data;
	int left = 1, right = n, mid;
	int stdl, stdr, limit = max(0, x - k);
	while (left <= right) {
		mid = (left + right) >> 1;
		if (p[mid].data >= limit)right = mid - 1, stdl = mid;
		else left = mid + 1;
	}
	left = 1, right = n, limit = x + k;
	while (left <= right) {
		mid = (left + right) >> 1;
		if (p[mid].data <= limit)left = mid + 1, stdr = mid;
		else right = mid - 1;
	}
	l[id] = stdl; r[id] = stdr;
}
int block, belong[maxn];
struct Node{
	int left;
	int right;
	int id;
	friend bool operator <(const Node& a, const Node& b) {
		return belong[a.left] ^ belong[b.left] ? belong[a.left] < belong[b.left] :
			belong[a.left] & 1 ? a.right<b.right : a.right>b.right;
	}
}q[maxn]; 
LL res[maxn];
int main() {
	n = io.read();
	m = io.read();
	k = io.read();
	block = sqrt(n);
	for (int i = 1; i <= n; i++) { 
		a[i].data = io.read();
		a[i].id = i;
		p[i] = a[i];
		belong[i] = i / block;
	}
	sort(p + 1, p + 1 + n);
	for (int i = 1; i <= n; i++)a[p[i].id].id = i;
	for (int i = 1; i <= n; i++)question(i);
	for (int i = 1; i <= m; i++) {
		q[i].left = io.read();
		q[i].right = io.read();
		q[i].id = i;
	}
	sort(q + 1, q + 1 + m);
	int stdl = 1, stdr = 0; LL ans = 0;
	for (int i = 1; i <= m; i++) {
		while (stdl > q[i].left) {
			stdl--;
			modify(a[stdl].id, 1);
			ans = ans + query(r[stdl]) - query(l[stdl] - 1) - 1;
		}
		while (stdr < q[i].right) {
			stdr++;
			modify(a[stdr].id, 1);
			ans = ans + query(r[stdr]) - query(l[stdr] - 1) - 1;
		}
		while (stdl < q[i].left) {
			ans = ans - (query(r[stdl]) - query(l[stdl] - 1) - 1);
			modify(a[stdl].id, -1);
			stdl++;
		}
		while (stdr > q[i].right) {
			ans = ans - (query(r[stdr]) - query(l[stdr] - 1) - 1);
			modify(a[stdr].id, -1);
			stdr--;
		}
		res[q[i].id] = ans;
	}
	for (int i = 1; i <= m; i++)
		printf("%lld\n", res[i]);
}