E：Johnny and Grandmaster

Johnny and Grandmaster

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思路

這道題就是把一組數分成兩個集合，使這兩個集合的對p的次方的和的差的最小值，也就是求$sum1 - sum2$得最小值， 由於結果過大我們可能需要對結果取模。那麼這題得關鍵在於我們應該如何分配這兩個集合，也就是如何得到最優的$sum1 - sum2$的值。

我們先把給定的數組從大到小排序，我們一定可以得到$p ^ {a[1]} = p ^ {a[2]} + p ^ {a[3]} + p ^ {a[4]} …… + p ^ {a[x]}$，這一點是顯然成立的。

我們先分配最大的數到集合$1$中，接下來我們再分配其他的數到集合$2$，中，直到$sum1 == sum2$，我們再重新分配一個數到集合$1$中，重複如此操作我們就可以的到最小值。

這題的關鍵就在於我們如何判斷這兩個集合中的數和是相等的，容易想到$sum1 == sum2 -> sum1 - sum2 == 0$，於是我們好像可以利用這個點來完美的實現這個算法，但是很遺憾，wa在了test7，這裏可能存在一個極大的誤差，當我們的剛好是模數的時候，顯然這裏就錯了，所以我們必須選定一個方法來避免這個錯誤，於是就有了，雙模數判定差值是否爲0。

代碼

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long ll;

inline ll read() {
    ll f = 1, x = 0;
    char c = getchar();
    while(c < '0' || c > '9') {
        if(c == '-')    f = -1;
        c = getchar();
    }
    while(c >= '0' && c <= '9') {
        x = (x << 3) + (x << 1) + (c ^ 48);
        c = getchar();
    }
    return f * x;
}

const int mod = 1e9 + 7,  MOD = 1e9 + 3;//用兩個模數來判斷是否爲零，
const int N = 1e6 + 10;

ll a[N];

ll qpow(ll a, ll n, ll mod) {
    ll ans = 1;
    while(n) {
        if(n & 1)   ans = (ans * a) % mod;
        a = (a * a) % mod;
        n >>= 1;
    }
    return ans;
}

int main() {
    // freopen("in.txt", "r", stdin);
    int t = read();
    while(t--) {
        int n = read(); ll p = read();
        for(int i = 1; i <= n; i++)
            a[i] = read();
        sort(a + 1, a + 1 + n, greater<ll> ());
        char *str = "okkkk";
        ll ans1 = 0, ans2 = 0;
        for(int i = 1; i <= n; i++) {
            if(!ans1 && !ans2) {//當這兩個數同時爲零的時候代表兩個集合的差值爲零。
                ans1 = (ans1 + qpow(p, a[i], mod)) % mod;
                ans2 = (ans2 + qpow(p, a[i], MOD)) % MOD;
            }
            else {
                ans1 = (ans1 + mod - qpow(p, a[i], mod)) % mod;
                ans2 = (ans2 + MOD - qpow(p, a[i], MOD)) % MOD;
            }
        }
        printf("%lld\n", ans1);
    }
    return 0;
}