线性代数全记录

学习线性代数慕课（北航 李尚志）课程的记录

线性方程组

线性代数中的矩阵变换实际上是可以与线性方程组的系数变换相对应。并且线性代数实际上是多元一次函数或多元一次方程组，其有效的工具是矩阵，方法是矩阵变换和矩阵相乘。

线性代数概览

数学的重要主题：方程和函数。
微积分：把非线性变成线性。
线性代数：一次方程组+一次函数组。

• 简。次数只有一次。
• 少。运算只有两种 矩阵变换和矩阵相乘。

数列求和引出行列式

• 为什么学习线性方程组。
• 怎样解三角形方程组。求解时，目标化为三角形方程组，这样才能得出解。
• 不是三角形方程组，通解变形为三角形方程组。

方程组的同解变形

方程组的通解变形是与线性代数的矩阵的初等行变换一一对应。

• 方程组基本通解变形
  
• 线性方程组和线性代数的变换对比。
  
• 矩阵的初等行变换。
  
  

解集的初步讨论

存在唯一解，无穷解，无解，多解情况。

线性无关和线性相关

不共面决定唯一解

对于三个向量而言。

判断三个向量是否共面，不共面则一定有唯一解。

系数均为0表明三个向量不共面。

数组向量的线性无关

线性无关：对于三维来说是不共面，对于二维来说是不共线。
线性方程组的系数线性无关则一定有唯一解。上面不共面的推广。

n数组向量空间

• 线性无关与线性有关的定义。
  
  线性相关可以有多解，线性无关只有唯一解。

• 可以比较维数和向量个数，来确定是否线性无关。因为n维空间中的线性无关向量不超过n个，所以如果个数m大于n个，则一定线性有关。
  

• 基于座标的概念。
  

行列式

行列式判断线性无关

系数的行列式值大于0,则线性无关。

几何性质决定代数算法

二阶行列式实际上是求两个向量组成的四边形的面积。

行列式的初等变换