部分選主元的Doolittle分解

 

步驟：

 

假設用緊湊格式的Doolittle法已經完成了第 r-1 (1<=r<=n) 步分解，第 r 步分解，首先在數組 A 的第 r 列主對角元以下（含主對角元）

 

選主元，具體步驟：

 

1、計算中間量 Si ,並存入 A( i , r ) ( r = 1 : n-1 ).

 

             A( i , r ) <-- Si = A( i , r ) - sigma( A( i , k ) · A( k , r ) ) [ k = 1 : r-1 ]

                              (i = r , ... , n ).

 

2、挑選絕對值最大的 Si，即確定行號 ir , 滿足

 

             | Sir | = max ( | Si | , r<=i<=n )

 

3、換行。如果 ir != r ,則交換數組 A 中的第 r 行與 ir 行的對應元素。交換位置的元素以它在 A 中所處的新位置記。此時

 

             urr = A( r, r ) .

 

4、分解計算

 

             A( i , r ) <-- lir = A( i , r ) / A( r , r )    (i = r+1, ... , n ; r = 1, 2, ... , n-1 ).

 

             A( r , r) <-- uri = A( r , i ) - sigma( A( i , k ) · A( k , r ) ) [ k = 1 : r-1 ]             (i = r+1,...,n+1; r = 1,2,...,n )

 

按上述方法完成 n 步分解，便實現了係數矩陣分解 PA=LU.

 

C語言代碼（未考慮無解情況）：

#include<stdio.h> #include<string.h> #include<math.h> #define M 128 double mat[M][M]; double ans[M],y[M]; int n; bool Read() { int i,j; if(1!=scanf("%d",&n)) return false; for(i=0;i<n;i++){ for(j=0;j<=n;j++) scanf("%lf",&mat[i][j]); } return true; } void Print() { int i,j; for(i=0;i<n;i++){ for(j=0;j<=n;j++) printf("%.2f/t",mat[i][j]); puts(""); } puts(""); } void Work() { int i,k,r,t; double d,tmp[M]; for(r=0;r<n;r++){ // for(i=t=r;i<n;i++){ for(k=0,d=0.0;k<r;k++) d+=mat[i][k]*mat[k][r]; mat[i][r]-=d; if(fabs(mat[i][r])>fabs(mat[t][r])) t=i; } Print(); memmove(tmp,mat[t],sizeof(tmp)); memmove(mat[t],mat[r],sizeof(tmp)); memmove(mat[r],tmp,sizeof(tmp)); Print(); for(i=r+1;i<n;i++) mat[i][r]/=mat[r][r]; for(i=r+1;i<=n;i++){ for(d=0.0,k=0;k<r;k++) d+=mat[r][k]*mat[k][i]; mat[r][i]-=d; } Print(); } } void Result() { int r,i; double tmp; for(r=n-1;r>=0;r--){ for(i=r+1,tmp=0.0;i<n;i++) tmp+=mat[r][i]*ans[i]; ans[r]=(mat[r][n]-tmp)/mat[r][r]; } for(i=0;i<n;i++) printf("%lf/t",ans[i]); puts(""); } int main() { while(Read()){ Work(); Print(); Result(); } return 0; } /* 3 1 -1 3 1 2 -4 6 4 4 -9 2 1 */