空間相關分析(三) 局部莫蘭指數的理解與計算

        在上篇中，我們詳細地闡述了全局莫蘭指數(Global Moran’I)的含義以及具體的軟件實操方法。今天，就來進一步地說明局部莫蘭指數(Local Moran’I)的含義與計算。

        首先說明一下進行局部相關分析的必要性：

1. 在全局相關分析中，如果全局莫蘭指數顯著，我們即可認爲在該區域上存在空間相關性。但是，我們還是不知道具體在哪兒些地方存在着空間聚集現象。這個時候就需要局部莫蘭指數參與幫助說明。
2. 即使全局莫蘭指數爲0，在局部上也不一定就沒有空間聚集現象！(上篇博客中，學生的成績的例子足以說明，在此不再贅述）

一、公式說明

        還是先從公式入手進行理解，相比全局莫蘭指數，局部莫蘭指數的計算方式要簡潔許多，其計算方式如下：
$\mathit{I_{i}=Z_{i}\sum\limits_{j\not=i}^{n}w_{ij}Z_{j}}$
        其中，$Z_{i}=y_{i}-\bar{y}$，$Z_{j}=y_{j}-\bar{y}$，$w_{ij}$爲空間權重值，$n$爲研究區域上所有地區的總數，$I_{i}$則代表第${i}$個地區的局部莫蘭指數。爲了方便理解，這裏的$y_{i(j)}$還是代表第$i(j)$地區的人均GDP，並將求和號展開：
$I_{i}=(y_{i}-\bar{y})[w_{i1}(y_{1}-\bar{y})+w_{i2}(y_{2}-\bar{y})+...w_{i(i-1)}(y_{i-1}-\bar{y})+w_{i(i+1)}(y_{i+1}-\bar{y})+...+w_{in}(y_{n}-\bar{y})]$

        從上式不難看出，$I_{i}$的正負取決於$y_{i}-\bar{y}$和後面那一坨。前者可反映出第$i$個地區的經濟發展水平與整個區域的平均水平之間的高低情況，後者則反映出第$i$個地區的經濟發展水平與周邊地區之間的高低情況。兩個式子都有高低兩種可能性，兩兩組合，共有四種情況。

以表格的方式呈現如下：

$Z_{i}$	$\sum\limits_{j\not=i}^{n}w_{ij}Z_{j}$	$I_{i}$	含義
>0	>0	>0	第i個地區經濟發展水平高，周邊地區發展水平高
<0	<0	>0	第i個地區經濟發展水平低，周邊地區發展水平低
<0	>0	<0	第i個地區經濟發展水平低，周邊地區發展水平高
>0	<0	<0	第i個地區經濟發展水平高，周邊地區發展水平低

二、Moran’I散點圖

當然，將上表內容以可視化的方式呈現，就得到了Moran’I散點圖。以$Z_{i}$爲x軸，$\sum\limits_{j\not=i}^{n}w_{ij}Z_{j}$爲y軸，將平面區域劃分爲四個象限，如下圖所示：

這裏還是以2018年人均GDP爲基礎數據，利用Geoda進行局部相關分析。操作過程如下：
導入空間權重矩陣——空間分析——單變量局部Moran’I分析

選擇PGDP2018後，彈出以下對話框，這裏我們先選擇Moran散點圖

細心地小夥伴可能會發現，下面這張圖和全局莫蘭指數得到的圖是一樣的！(emm.上面的那個moran’I 是全局莫蘭指數，下面這些散點的橫縱座標的乘積就是各個區縣的局部莫蘭指數。相當於，一張圖涵蓋了兩種指數的信息。

        簡單對這張圖分析一下：從局部相關的角度來看，第一、三象限的點明顯多於第二、四象限的點，即表示"低—低"型和"高—高"型聚集的區縣較"高—低"型、"低—高"型的區縣更多。更簡單地來說，即經濟較低(高)的區縣在空間上更易聚集。從差異的角度來看，若"低—低"型和"高—高"型區縣數量多，即說明此時的空間差異較小。（類比，你胖，周圍人也胖，是不是你就胖的不明顯啦

順便提一下，既然全局莫蘭指數和局部莫蘭指數都稱莫蘭指數，兩者肯定是有關係的，數學公式表達如下：
$I=\frac{n}{S_{0}}\times\frac{\sum\limits_{i}I_{i}}{\sum\limits_{i}^{}Z_{i}^{2}}$
其中，$Z_{i}=y_{i}-\bar{y}$

更多詳細的內容，有興趣的小夥伴可參考：
Anselin L . Local Indicators of Spatial Association—LISA[J]. Geographical analysis, 1995, 27(2):93-115.

三、LISA聚集圖

說到這兒，好像還沒說局部莫蘭指數怎麼檢驗吧！其實，檢驗方法一樣還是利用Z檢驗：
$Z_{i}=\frac{I_{i}-E(I_{i})}{\sqrt{var(I_{i})}}$
其實，上面那個moran’I散點圖並沒有對各個區縣的局部莫蘭指數進行檢驗，LISA聚集圖在就在給定的顯著性水平下，對於那些通過顯著性檢驗的區縣以地圖的方式呈現出來，繪製的LISA聚集圖如下：

左圖爲重慶市區縣經濟發展水平LISA聚集圖,右圖爲行政區地圖

Geoda就這一點不好，沒法將區縣名顯示在LISA聚集圖上。(有該需要的可以用Arcgis實現

從上圖不難看出，重慶市經濟發展水平較高的都聚集在渝西南地區，經濟水平較低的大多聚集在渝東北地區，少部分聚集在渝東南地區，此外，"高-低"型和"低-高"型聚集區縣並沒有呈現出來。(若想更全面地展現經濟水平聚集情況，光是人均GDP這一個指標肯定是遠遠不夠的)

以上就是本次分享的全部內容~