不簡單的選擇排序—堆排序算法(5)

堆排序算法

堆排序(Heap Sort)就是利用堆(假設利用大堆頂)進行排序的方法。它的基本思想是，將待排序的序列構造成一個大堆頂。此時，整個序列的最大值就是堆頂的根節點。將它移走(其實就是將其與堆數組的末尾元素交換，此時末尾元素就是最大值)，然後將剩餘的n-1個序列重新構造成一個堆，這樣就會得到n個元素中的次大值。如此反覆執行，便能得到一個有序序列了。

/* 對順序表L作堆排序*/
#include <stdio.h>
#define MAXSIZE 10

typedef struct
{
    int r[MAXSIZE];
    int length;
}SqList;
void swap(SqList *L, int i, int j)
{
    int temp = L->r[i];
    L->r[i] = L->r[j];
    L->r[j] = temp;
}

/*已知L->r[s..m]中記錄的關鍵字除L->r[s]之外均滿足堆的定義*/
/*本函數調整L->r[s]的關鍵字，使L->r[s..m]成爲一個大堆頂*/
void HeapAdjust(SqList *L, int s, int m)
{
    int temp, j;
    temp = L->r[s];
    for(j = 2*s; j <= m; j*=2)  //沿關鍵字較大的孩子節點向下篩選
    {
        if(j < m && L->r[j] < L->r[j+1])  
        {
            ++j;                    //j爲關鍵字中較大的記錄的下標
        }
        if(temp >= L->r[j])
        {   
            break;                      //rc應該插入在位置s上
        }
        L->r[s] = L->r[j];
        s = j;
    }
    L->r[s] = temp;             //插入
}
void HeapSort(SqList *L)  
{
    int i;
    for(i = L->length/2; i > 0; i--)  //把L中的r構建成一個大堆頂
    {
        HeapAdjust(L, i, L->length);
    }
    for(i = L->length; i > 1; i--)  //將每個最大值的根結點與末尾元素交換，再次調整其成爲大堆頂
    {
        swap(L, 1, i);  //將堆頂記錄和當前未經排序子序列的最後一個記錄交換
        HeapAdjust(L, 1, i-1); //將L->r[1..i-1]重新調整成爲大堆頂
    }
}   
int main()
{
    SqList H;
    int n;
    
    scanf("%d",&n);
    H.length = n-1;
    for(int i = 0; i < n; i++)
    {
        scanf("%d",&H.r[i]);
    }
    HeapSort(&H);
     for(int i = 1; i < n; i++)
    {
        printf("%d ",H.r[i]);
    }
}

/*
程序運行示例：
10
0 50 10 90 30 70 40 80 60 20
10 20 30 40 50 60 70 80 90 %    
*/

堆排序複雜度分析

堆排序的效率到底有多高呢？它的運行時間主要是消耗在初始構建堆和在重建時的反覆篩選上。在構建堆的過程中，因爲我們是完全二叉樹從最下層最右邊的非終端節點開始構建，將它與其孩子進行比較和若有必要的交換，對於每個非終端節點來說，其實最多進行兩次比較和互換操作。因此真個構建堆的時間複雜度爲O(n).

總體來說，堆的時間複雜度爲O($nlogn$)。由於堆排序對原始記錄的排序狀態並不敏感，因此，它無論最好、最壞和平均時間複雜度均爲O($nlogn$)。這在性能上顯然要遠遠好於冒泡、簡單選擇、直接插入的O($n^2$)的時間複雜度了。

空間複雜度上，它只有一個用來交換的暫存單元，也非常的不錯。不過由於記錄的比較與交換是跳躍式進行，因此堆排序也是一種不穩定的排序方法。

最後，由於初始構建堆所需的比較次數比較多，因此，它並不適合待排序列個數較少的情況。