前言
笔者一直在ipad上做手写笔记,最近突然想把笔记搬到博客上来,也就有了下面这些。因为本是给自己看的笔记,所以内容很简陋,只是提了一些要点。随缘更新。
正文
生成模型和判别模型的区别
生成模型:学习得到联合概率分布P(x,y),即特征x和标记y共同出现的概率,然后求条件概率分布。能够学习到数据生成的机制。
判别模型:学习得到条件概率分布P(y|x),即在特征x出现的情况下标记y出现的概率。
引用知乎上我看到的一个举例,要确定一个羊是山羊还是绵羊
用判别模型的方法是从历史数据中学习到模型,然后通过提取这只羊的特征来预测出这只羊是山羊的概率,是绵羊的概率。
利用生成模型是根据山羊的特征首先学习出一个山羊的模型,然后根据绵羊的特征学习出一个绵羊的模型,然后从这只羊中提取特征,放到山羊模型中看概率是多少,在放到绵羊模型中看概率是多少,哪个大就是哪个。
为什么不使用回归模型
分类问题也是确定一条线,将我们要分类的数据集分成若干种。分类问题应该是这条线将两边的模型分得越开越好,但是如果我们采用回归模型去确定这条线,回归模型的loss function是计算点到线的距离的平方和,那距离越远loss function的值越大,那和我们的意愿就背道而驰了。所以我们如果把分类问题应回归模型硬解,会得不到一个好的模型。例如下图中绿线是我们想要得到的,但是紫线是回归模型所认为的最佳的模型。
在多分类问题中,类别1设为1,类别2设为2,类别3设为3,如果采用回归模型,会认为1、2或2、3比较接近,但实际上并没有这种关系的存在,这会导致我们的model出现问题。
生成模型 —— 后验概率
高斯分布
f μ , Σ = 1 ( 2 π ) D 2 1 ∣ Σ ∣ 1 2 exp [ − 1 2 ( x − μ ) T Σ − 1 ( x − μ ) ] f_{\mu ,\Sigma }=\frac {1}{( 2\pi ) ^{\frac {D}{2}}}
\dfrac {1}{\left| \Sigma \right| ^{\frac {1}{2}}}\exp[-\dfrac {1}{2}\left( x-\mu \right) ^{T}\Sigma ^{-1}\left( x- \mu \right)] f μ , Σ = ( 2 π ) 2 D 1 ∣ Σ ∣ 2 1 1 exp [ − 2 1 ( x − μ ) T Σ − 1 ( x − μ ) ]
μ \mu μ 为均值向量
Σ \Sigma Σ 为方差矩阵
D D D 为 x x x 的维数
这是一个概率密度函数,简单的说可以把它看成一个function,输入 x x x 输出 x x x 的概率(当然这不是概率,但和概率成正比)。
分类模型(Step1:build model)
C 1 = C_1= C 1 = { 种类一 },C 2 = C_2= C 2 = { 种类二 }
P ( C 1 ∣ x ) = P ( x ∣ C 1 ) P ( C 1 ) P ( x ∣ C 1 ) P ( C 1 ) + P ( x ∣ C 2 ) P ( C 2 ) P(C_1|x)=\frac{P(x|C_1)P(C_1)}{P(x|C_1)P(C_1)+P(x|C_2)P(C_2)} P ( C 1 ∣ x ) = P ( x ∣ C 1 ) P ( C 1 ) + P ( x ∣ C 2 ) P ( C 2 ) P ( x ∣ C 1 ) P ( C 1 )
P ( x ∣ C 1 ) = f μ 1 , Σ 1 P(x|C_1)=f_{\mu^1 ,\Sigma^1 } P ( x ∣ C 1 ) = f μ 1 , Σ 1
P ( x ∣ C 2 ) = f μ 2 , Σ 2 P(x|C_2)=f_{\mu^2 ,\Sigma^2 } P ( x ∣ C 2 ) = f μ 2 , Σ 2
需要求解出两组 μ , Σ \mu,\Sigma μ , Σ
最大似然估计
假设有 n n n 个点,L ( μ , Σ ) = f μ , Σ ( x 1 ) f μ , Σ ( x 2 ) . . . f μ , Σ ( x n ) L(\mu,\Sigma)=f_{\mu,\Sigma}(x_1)f_{\mu,\Sigma}(x_2)...f_{\mu,\Sigma}(x_n) L ( μ , Σ ) = f μ , Σ ( x 1 ) f μ , Σ ( x 2 ) . . . f μ , Σ ( x n ) 是生成这些点的概率(说成概率更容易理解),也成为样本的似然函数。
为使得 L ( μ , Σ ) L(\mu,\Sigma) L ( μ , Σ ) 最大的 L ( μ , Σ ) L(\mu,\Sigma) L ( μ , Σ ) 记为( μ ∗ , Σ ∗ ) (\mu^*,\Sigma^*) ( μ ∗ , Σ ∗ ) ,即所有 L ( μ , Σ ) L(\mu,\Sigma) L ( μ , Σ ) 的最大似然估计。
我们的目标是使生成这些的点概率最大,即我们要求 ( μ ∗ , Σ ∗ ) (\mu^*,\Sigma^*) ( μ ∗ , Σ ∗ )
总结一下:极大似然估计就是先假设生成数据(数据分布)的模型已知(比如高斯分布),但是模型的具体参数不知(不知道高斯分布中的均值和标准差),通过已有的数据,进行参数的推断求解,使得该模型(高斯分布)生成已有观测数据的可能性最大。
目标函数(Step2:Goodness of function)
arg max μ , Σ L ( μ , Σ ) \arg \max _{\mu ,\Sigma } L(\mu ,\Sigma ) arg μ , Σ max L ( μ , Σ )
求解(Step3:the best function)
利用微分等于0,易得:
μ ∗ = 1 n ∑ i = 1 n x i \mu^* = \frac{1}{n}\sum ^{n}_{i=1}x_i μ ∗ = n 1 i = 1 ∑ n x i
Σ ∗ = 1 n ∑ i = 1 n ( x i − μ ∗ ) ( x i − μ ∗ ) T \Sigma^*=\frac{1}{n}\sum^{n}_{i=1}(x_i-\mu^*)(x_i-\mu^*)^T Σ ∗ = n 1 i = 1 ∑ n ( x i − μ ∗ ) ( x i − μ ∗ ) T
模型优化(协方差)
我们通常不会给每个高斯分布都去计算一套不同的最大似然估计,Σ \Sigma Σ 和输入的feature成平方关系,当平方很大时,Σ \Sigma Σ 就会变的非常巨大,一是计算时间太长,二是容易过拟合。因此我们给每个高斯分布相同的 Σ \Sigma Σ 。
公式转变为(以二分类为例):
arg max μ 1 , μ 2 , Σ L ( μ 1 , μ 2 , Σ ) \arg \max _{\mu_1, \mu_2 ,\Sigma } L(\mu_1,\mu_2 ,\Sigma ) arg μ 1 , μ 2 , Σ max L ( μ 1 , μ 2 , Σ )
L ( μ 1 , μ 2 , Σ ) = f μ 1 , Σ ( x 1 ) . . . f μ , Σ ( x n ) ∗ f μ 2 , Σ ( x n + 1 ) . . . f μ 2 , Σ ( x n + m ) L(\mu^1,\mu^2,\Sigma)=f_{\mu^1,\Sigma}(x_1)...f_{\mu,\Sigma}(x_n)*f_{\mu^2,\Sigma}(x_{n+1})...f_{\mu^2,\Sigma}(x_{n+m}) L ( μ 1 , μ 2 , Σ ) = f μ 1 , Σ ( x 1 ) . . . f μ , Σ ( x n ) ∗ f μ 2 , Σ ( x n + 1 ) . . . f μ 2 , Σ ( x n + m )
求解:
μ 1 , μ 2 \mu_1,\mu_2 μ 1 , μ 2 和原先一致
μ 1 = 1 n ∑ i = 1 n x i \mu_1 = \frac{1}{n}\sum ^{n}_{i=1}x_i μ 1 = n 1 i = 1 ∑ n x i
μ 2 = 1 n ∑ i = n + 1 n + m x i \mu_2 = \frac{1}{n}\sum ^{n+m}_{i=n+1}x_i μ 2 = n 1 i = n + 1 ∑ n + m x i
Σ \Sigma Σ 为二者加权平均
Σ = n m + n Σ 1 + m n + m Σ 2 \Sigma=\frac{n}{m+n}\Sigma_1+\frac{m}{n+m}\Sigma_2 Σ = m + n n Σ 1 + n + m m Σ 2
优化过后的分类曲线变成了线性的
一个合适的概率分布模型
你可能会问为什么用高斯分布,用李宏毅老师的话来说就是,如果我用别的分布模型你也会问同样的问题。
别的分布模型当然可以使用,例如二分类问题我们可以使用伯努利分布。高斯分布更加通用、普遍,所以我们在此用是用高斯分布举例,并不是一定要用高斯分布。
后验概率公式推导
P ( C 1 ∣ x ) = P ( x ∣ C 1 ) P ( C 1 ) P ( x ∣ C 1 ) P ( C 1 ) + P ( x ∣ C 2 ) P ( C 2 ) P(C_1|x)=\frac{P(x|C_1)P(C_1)}{P(x|C_1)P(C_1)+P(x|C_2)P(C_2)} P ( C 1 ∣ x ) = P ( x ∣ C 1 ) P ( C 1 ) + P ( x ∣ C 2 ) P ( C 2 ) P ( x ∣ C 1 ) P ( C 1 )
经过处理你会发现这是一个关于 z z z 的sigmiod函数(这下知道Sigmoid函数是哪来的吧)
= 1 1 + p ( x ∣ C 2 ) P ( C 2 ) p ( x / C 1 ) p ( C 1 ) = 1 1 + e x p ( z ) = σ ( z ) =\dfrac {1}{1+\dfrac {p\left( x|C_2 \right) P\left( C_2\right) }{p\left( x/C_{1}\right) p\left( C_{1}\right) }}=\frac{1}{1+exp(z)}=\sigma(z) = 1 + p ( x / C 1 ) p ( C 1 ) p ( x ∣ C 2 ) P ( C 2 ) 1 = 1 + e x p ( z ) 1 = σ ( z )
z = l n P ( x ∣ C 1 ) P ( C 1 ) P ( x ∣ C 2 ) P ( C 2 ) z=ln\frac{P(x|C_1)P(C_1)}{P(x|C_2)P(C_2)} z = l n P ( x ∣ C 2 ) P ( C 2 ) P ( x ∣ C 1 ) P ( C 1 )
然后一同操作猛如虎,公式我就不打了,太长了,估计你们也没有兴趣看。反正最后得到
z = ( μ 1 − μ 2 ) T Σ − 1 x − 1 2 ( μ 1 ) T μ 1 + 1 2 ( μ 2 ) T Σ − 1 μ 2 + l n n m z=(\mu_1-\mu_2)^T\Sigma^{-1}x-\frac{1}{2}(\mu_1)^T\mu_1+\frac{1}{2}(\mu_2)^T\Sigma^{-1}\mu_2+ln\frac{n}{m} z = ( μ 1 − μ 2 ) T Σ − 1 x − 2 1 ( μ 1 ) T μ 1 + 2 1 ( μ 2 ) T Σ − 1 μ 2 + l n m n
我们令
w = ( μ 1 − μ 2 ) T Σ − 1 w=(\mu_1-\mu_2)^T\Sigma^{-1} w = ( μ 1 − μ 2 ) T Σ − 1
b = 1 2 ( μ 1 ) T μ 1 + 1 2 ( μ 2 ) T Σ − 1 μ 2 + l n n m b=\frac{1}{2}(\mu_1)^T\mu_1+\frac{1}{2}(\mu_2)^T\Sigma^{-1}\mu_2+ln\frac{n}{m} b = 2 1 ( μ 1 ) T μ 1 + 2 1 ( μ 2 ) T Σ − 1 μ 2 + l n m n
w w w 和 b b b 都是常数,也就是说,最后我们得到的后验模型是个线性模型。
后记
其实判别模型和生成模型应该一起讲的,因为这两个模型的推到思路是连贯的。但是实在太长了,就先把生成模型写出来了,判别模型改天再写。