【計組】6.計算機的運算方法

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本筆記爲筆者學習中國大學MOOC上計算機組成原理課程時結合課程PPT和自己總結所做，爲個人筆記，如果對你有所幫助的話，我很榮幸。
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計算機組成原理系列課程筆記入口：計算機組成原理[哈工大]

一、無符號數和有符號數

1.1 無符號數

1. 寄存器的位數反映無符號數的表示範圍
   8 位    0 ~ 255
   16 位   0 ~ 65535

1.2 有符號數

1. 機器數與真值
   

2. 原碼錶示法
   (1)定義
   
   
   
   
   (2)舉例
   
   
   
   
   原碼的特點：簡單、直觀
   但是用原碼作加法時，會出現如下問題：
   
   能否只作加法?
   找到一個與負數等價的正數來代替這個負數就可使減→加

3. 補碼錶示法
   (1)補的概念
   
   結論
   √ 一個負數加上“模”即得該負數的補數
   √ 一個正數和一個負數互爲補數時它們絕對值之和即爲模數
   
   (2)正數的補數即爲其本身
   
   (3)補碼定義
   整數
   
   x爲真值,n爲整數的位數
   
   小數
   
   (4)求補碼的快捷方式
   當真值爲負時，補碼可用原碼除符號位外每位取反,末位加1求得
   (5)舉例
   
   
   
   練習 求下列真值的補碼
   

4. 反碼錶示法
   (1)定義
   
   
   (2)舉例
   
   
   
   三種機器數的小結
   √ 最高位爲符號位，書寫上用“,”（整數）或“.”（小數）將數值部 分和符號位隔開
   √ 對於正數，原碼 = 補碼 = 反碼
   √ 對於負數，符號位爲1,其數值部分
     原碼除符號位外每位取反末位加1→補碼
     原碼除符號位外每位取反→反碼

   例6.11設機器數字長爲8位（其中１位爲符號位），對於整數，當其分別代 表無符號數、原碼、補碼和反碼時，對應的真值範圍各爲多少？
   
   例6.12 已知 [y]補 求[-y]補
   

5. 移碼錶示法
   補碼錶示很難直接判斷其真值大小
   (1)移碼定義
   
   
   (2)移碼和補碼的比較
   
   
   補碼與移碼只差一個符號位

   (3)真值、補碼和移碼的對照表
   
   (4)移碼的特點
   當x = 0時 [+0]移 = 25 + 0 = 1,00000
             [-0]移 = 25 – 0 = 1,00000
   ∴ [+0]移 = [-0]移
   當 n = 5 時 最小的真值爲25 = 100000
    [ 100000]移 = 25 – 100000 = 000000
   可見，最小真值的移碼爲全0

   用移碼錶示浮點數的階碼
   能方便地判斷浮點數的階碼大小

二、數的定點表示和浮點表示

2.1 定點表示

1. 小數點按約定方式標出
   

2.2 浮點表示

• 爲什麼在計算機中要引入浮點數表示？
  • 編程困難，程序員要調節小數點的位置；
  • 數的表示範圍小，爲了能表示兩個大小相差很大的數據，需要很長的機器字長；
    例如：太陽的質量是0.2*1034克，一個電子的質量大約爲0.9*10-27克，兩者的差距爲1061以上，若用定點數據表示：2x>1061， 解得x>203位。
  • 數據存儲單元的利用率往往很低。
• 浮點表示的格式是什麼？
• 尾數和階碼的基值必須是2嗎？基值的影響？
• 表數範圍與精度和哪些因素有關？
• 爲什麼要引入規格化表示?
• 目前浮點數表示格式的標準是什麼？

$N = S× r^j$ 浮點數的一般形式
S :尾數 ；j: 階碼； r: 尾數的基值
計算機中 r 取 2、4、8、16 等
計算機中 S 小數、可正可負； j 整數、可正可負

①浮點數的表示形式

$S_f$ 代表浮點數的符號
$n$ 其位數反映浮點數的精度
$m$ 其位數反映浮點數的表示範圍
$j_f$ 和 $m$ 共同表示小數點的實際位置

②浮點數的表示範圍
上溢 階碼>最大階碼 機器停止運算
下溢 階碼<最小階碼 按機器零處理，機器繼續運行

③浮點數的規格化形式

• r=2 尾數最高位爲1
• r=4 尾數最高2位不全爲0 基數不同，浮點數的規格化形式不同
• r=8 尾數最高3位不全爲0

④浮點數的規格化

• r=2 左規 尾數左移 1 位，階碼減 1
      右規 尾數右移 1 位，階碼加 1
• r=4 左規 尾數左移 2 位，階碼減 1
      右規 尾數右移 2 位，階碼加 1
• r=8 左規 尾數左移 3 位，階碼減 1
      右規 尾數右移 3 位，階碼加 1
• r=16 …
• r=2^n …
  基數 r 越大，可表示的浮點數的範圍越大
  基數 r 越大，浮點數的精度降低
  例如：設 m = 4， n = 10， r = 2
  尾數規格化後的浮點數表示範圍如下
  

2.3 舉例

• 機器零
  • 當浮點數尾數爲0時，不論其階碼爲何值按機器零處理
  • 當浮點數階碼等於或小於它所表示的最小數時，不論尾數爲何值，按機器 零處理
  • 如 m = 4、n = 10
    當階碼和尾數都用補碼錶示時，機器零爲
                 ×, × × × × ；0. 0 0 … 0
    （階碼 = 16） 1, 0 0 0 0 ；×. ×× … ×
    當階碼用移碼，尾數用補碼錶示時，機器零爲
        0, 0 0 0 0； 0. 0 0 0 … 0
    有利於機器中“判 0”電路的實現

2.4 IEEE 754標準

三、定點運算

3.1 移位運算

1. 移位的意義
   15.m = 1500. cm   小數點右移 2 位
   機器用語  15 相對於小數點 左移2位（ 小數點不動 ）
     左移 絕對值擴大
     右移 絕對值縮小
   在計算機中， 移位與加減配合，能夠實現乘除運算
2. 算術移位規則
   符號位不變
    x = - $0.x_1 x_2 … x_k100…000$
   [x]補= $1.\bar{x_1}\bar{x_2}…\bar{x_k}100...000$
   
   
   
3. 算術移位的硬件實現
   
4. 算術移位和邏輯移位的區別
   

3.2 加減法運算

但是用原碼作加法時，會出現如下問題：

1. 補碼加減法運算
   
2. 舉例
   
   
   
3. 溢出判斷
   
4. 補碼加減法的硬件配置
   

3.3 乘法運算

3.4 除法運算

四、浮點四則運算

4.1 浮點加減運算

五、算術邏輯單元

5.1 ALU電路

5.2 快速進位鏈